五大基本算法——回溯法

一、基本概念

回溯法是一种选优搜索法（试探法）。

基本思想：将问题P的状态空间E表示成一棵高为n的带全有序树T，把求解问题简化为搜索树T。搜索过程采用深度优先搜索。搜索到某一结点时判断该结点是否包含原问题的解，如果包含则继续往下搜索，如果不包含则向祖先回溯。

通俗来说，就是利用一个树结构来表示解空间,然后从树的根开始深度优先遍历该树，到不满足要求的叶子结点时向上回溯继续遍历。

几个结点：
扩展结点：一个正在产生子结点的结点称为扩展结点
活结点：一个自身已生成但未全部生成子结点的结点
死结点：一个所有子结点已全部生成的结点

二、基本步骤

1、分析问题，定义问题解空间。

2、根据解空间，确定解空间结构，得搜索树。

3、从根节点开始深度优先搜索解空间（利用剪枝避免无效搜索）。

4、递归搜索，直到找到所要求的的解。

三、两类常见的解空间树

1、子集树
当问题是：从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，用子集树。
子集树必然是一个二叉树。常见问题：0/1背包问题、装载问题。

//遍历子集树伪代码
void backtrack(int t){
    if(t>n) output(x);
        else
          for(int i=0;i<=1;i++){
                   x[t] = i;
                   if(legal(t)) backtrack(t+1);}
}

遍历子集树时间复杂度：O（2^n）

2、排列树
当问题是：确定n个元素满足某种排列时，用排列数。常见问题：TSP旅行商问题，N皇后问题。

//遍历排列树伪代码
void backtrack(int t){
    if(t>n) output(x);
        else
          for(int i=0;i<=1;i++){
                   swap(x[t],x[i]);
                   if(legal(t)) backtrack(t+1); 
                   swap(x[t],x[i]);}
}

遍历排列树时间复杂度：O（n!）

通俗地讲，结合Java集合的概念，选择哪种树其实就是看最后所得结果是放入一个List（有序）里，还是放入一个Set（无序）里。

四、剪枝函数

剪枝函数能极大提高搜索效率，遍历解空间树时，对于不满足条件的分支进行剪枝，因为这些分支一定不会在最后所求解中。

常见剪枝函数：

约束函数（对解加入约束条件）、限界函数（对解进行上界或下界的限定）

满足约束函数的解才是可行解。

五、常见案例问题

1、0/1背包问题

2、TSP旅行商问题

3、最优装载问题

4、N-皇后问题

具体问题可百度详细内容。