计算机算法设计与分析第二章思维导图&&知识点总结

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计算机算法设计与分析第一章思维导图
计算机算法设计与分析第二章思维导图&&知识点总结
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思维导图

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注:导图中的主定理模糊不清,可移步本文最下方观看清楚版。

递归的概念

直接或间接地调用自身的算法成为递归算法。
用函数自身给出定义的函数成为递归函数

递归实例

阶乘函数
Fibonacci数列
Ackerman函数
排列问题
整数划分问题
汉诺塔问题

分治法的基本思想

将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题相同。递归地解决这些子问题,然后将各子问题合并得到原问题的解。

分治法特征:

  1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
  2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
  3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
  4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。

分治范例

二分搜索技术

基本思想:

将n个元素分成个数大致相同的两半,取a[n/2]与x作比较。如果x=a[n/2],则找到x,算法终止;如果xa[n/2],则只在数组a的右半部继续搜索x。
二分搜索技术充分利用了元素间的次序关系,采用分治策略,可最坏用 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)时间完成搜索任务。

大整数的乘法

基本思想:

将n位的X,Y各自都分成2段,每段长n/2位(假设n为2的幂次),即 X = A ∗ 1 0 n / 2 + B X=A*10^{n/2}+B X=A10n/2+B Y = C ∗ 1 0 n / 2 + D Y=C*10^{n/2}+D Y=C10n/2+D,则 X Y = A C ∗ 1 0 n + 1 0 n / 2 ∗ ( ( A − B ) ∗ ( D − C ) + A C + B D ) + B D XY=AC*10^n+10^{n/2}*((A-B)*(D-C)+AC+BD)+BD XY=AC10n+10n/2((AB)(DC)+AC+BD)+BD。即一次n位的整数乘法可以化简为三次n/2位的整数乘法与6次减法。通过减少乘法次数,提高算法效率。

Strassen矩阵乘法

基本思想:

使用分治法,将一个矩阵转换为子矩阵相乘的方式。矩阵乘法耗费时间要比矩阵加法耗费的时间多,想要改进矩阵乘法的计算时间复杂性,必须减少乘法运算。Strassen矩阵乘法用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。

棋盘覆盖

基本思想:

用分治策略,可以设计解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法。当k>0时,将 2 k ∗ 2 k 2^k*2^k 2k2k棋盘分割为4个 2 k − 1 ∗ 2 k − 1 2^{k-1}*2^{k-1} 2k12k1子棋盘。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中,其余3个子棋盘无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘,可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处,这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格,从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割,直至棋盘简化为 1 ∗ 1 1*1 11棋盘。

合并排序

基本思想:

合并排序是用分治思想,首先将序列分为两部分,然后对每一部分进行递归的排序,最后将结果进行合并。

具体步骤:

(1)分解:将n个元素分成个含n/2个元素的子序列。
(2)解决:用合并排序法对两个子序列递归排序。
(3)合并:合并两个已排序的子序列已得到排序结果。

实现方式:

递归版本:

将待排序元素分成大小大致相同的两个子集合,分别对两个子集合进行排序,最终将排好序的子集合合并成要求的排好序的集合。

非递归版本:

递归版本的合并算法的递归过程只是将待排序集合一分为二,直至待排序集合只剩下一个元素为止,然后不断合并两个排好序的数组段。按此机制,可以先将数组中的相邻两元素两两配对,再用合并算法将它们排序,构成n/2组长度为2的排好序的子数组段,再将它们排序成长度为4的排好序的字数组段。如此下去,直至整个数组排好序。

复杂度分析:

最坏时间复杂度: O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
最好时间复杂度: O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
平均时间复杂度: O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
稳定性:稳定

快速排序

基本思想:

快速排序使用分治的思想,通过一趟排序将待排序列分割成两部分,其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小。之后分别对这两部分记录继续进行排序,以达到整个序列有序的目的。

具体步骤:

(1)选择基准:在待排序列中,按照某种方式挑出一个元素,作为 “基准”(pivot)
(2)分割操作:以该基准在序列中的实际位置,把序列分成两个子序列。此时,在基准左边的元素都比该基准小,在基准右边的元素都比基准大
(3)递归处理:递归地对两个序列进行快速排序,直到序列为空或者只有一个元素。

选择基准的方式:

(1)固定位置
取序列的第一个或最后一个元素作为基准
(2)随机化选择
随机取待排序列中任意一个元素作为基准
快速排序算法的性能取决于划分的对称性。而划分基准的随机选择,可以使期望划分变得较为对称。

复杂度分析:

最坏时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
最好时间复杂度: O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
平均时间复杂度: O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
空间复杂度:根据实现方式的不同而不同
稳定性:不稳定

选择问题求第k小

(1)先排序(非降序),再取第k个元素。

时间复杂度等于所选的排序算法的时间复杂度

(2)随机选择算法

利用随机划分算法思想将原问题划分为2个子问题,根据子问题所包含元素的位置来决定选择哪个子问题继续递归求解。最坏情况下需要O(n^2)得到答案,平均情况下,O(n)可得问题的解。

(3)线性时间选择算法(又称顺序统计算法)

算法思想:

如果能够找到一个划分基准,使得这个基准的划分的两个子数组的长度都至少是原来的 ε \varepsilon ε倍(0 < ε \varepsilon ε < 1),则子问题的规模为 ε n \varepsilon n εn,那么最坏情况也能O( n )解决问题。

算法步骤:

将n个元素划分成 ⌈ n / 5 ⌉ \lceil n/5 \rceil n/5组,每组5个元素,至多只有一组包含n mod 5个元素
通过每组排序,找出每组的中位数构成序列M
取序列M的中位数x(若序列有偶数,取两个中位数中较大者)
用x作为基准元素,对原n个元素进行划分,i为分裂点
若k<=j,则用前部分子问题递归求第k小元素;
若k>j,则用后部分子问题求第k-i小元素
j为前部分子问题元素的个数。

最接近点对问题

基本思想:

将所给的平面上n个点的集合S分为两个子集S1和S2(可以按照x坐标排序中分),每个子集中约有n/2个点,然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。最近点对可能单纯在S1或S2中,也可能分别在S1和S2中。对于这个问题,
一维:第三种情况只可能是最靠近中线的那两个点。
二维:取两个子集递归求解最小值为d,第三种情况只会发生在 ( mid - d , mid + d ) 内,这个范围,mid左边p1,mid右边p2,p1中每个点最多在p2中存在6个点会更新答案,即按照y坐标排序后,p1每点最多只要检查p2中排好序的相继6个点。

循环赛日程表

基本思想:

采用分治策略,将所有的选手分成两半,n个选手的比赛日程表就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割,直到只剩下两个选手时,比赛日程表的制定就变得很简单了。这时只需要让这两个选手进行比赛即可。

主定理-基于分治的算法分析

简化版:

对于递推式 T ( n ) = a T ( n b ) + Θ ( n d ) T(n)=aT(\frac{n}{b})+\Theta(n^d) T(n)=aT(bn)+Θ(nd),其中 d >= 0 ,那么:

T ( n ) = { Θ ( n d ) , 当 a < b d Θ ( n d l o g n ) , 当 a = b d Θ ( n l o g b a ) , 当 a > b d T(n)=\begin{cases} \Theta(n^d), & 当ab^d \end{cases} T(n)=Θ(nd)Θ(ndlogn)Θ(nlogba)a<bda=bda>bd

完整版:

计算机算法设计与分析第二章思维导图&&知识点总结_第2张图片
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