[COCI2021-2022#1] Logičari

题目描述

给定一个 $n$ 个点的基环树，现在对基环树上的点染色，使得每个点都有且仅有一个与他相连的点（不包括它自身）被染色，求最少的染色点数，或者返回无解。

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$n$ 个点，$n$条边的连通无向图是基环树。

对于基环树上的问题，常把基环树上的环的一条边删去，这样就剩下一棵树，可以做树型 $DP$。

要找环上的一条边，可以用并查集。输入时每加一条边就判断连接的两个点 $u,v$ 属于的连通块是否相同，若相同，说明这条边在环上。将 $S$ 看作根。

只需枚举 $S,T$ 的染色状态（$4$ 种），对每种情况求最小的答案即可。

设 $d{p}_{u,s,fs,Ss,Ts}$ 表示当前节点 $u$、父亲、$S$ 和 $T$ 的染色状态（0/1），所能达到的最少的染色个数（若无解，为 $INF$）

首先先看无解的情况

• 若 $u=S$，但是 $s\ne Ss$（$u$ 的状态与设定不同）
• 若 $u=T$，但是 $s\ne Ts$（同上）
• 若 $u=T$，但是 $Ss=1,fs=1$（$T$ 的旁边有两个 $2$ 个染色的）

对于一个点 $u$，下面分类讨论

• 除 $u$ 的子树外，还有与 $u$ 连接的点（可能是 $f{a}_u,S,T$）已经被染色。
  说明 $u$ 的儿子不能被染色。
  转移方程为 $d{p}_{u,s,fs,Ss,Ts}=s+\sum _{v\in so{n}_u}d{p}_{v,0,s,Ss,Ts}$
• 否则说明 $u$ 的儿子可以被染色，但只能有一个。
• 转移方程为 $d{p}_{u,s,fs,Ss,Ts}=s+\underset{v\in so{n}_u}{\min }\left(\left(\sum _{x\in so{n}_u}d{p}_{x,0,s,Ss,Ts}\right)-d{p}_{v,0,s,Ss,Ts}+d{p}_{v,1,s,Ss,Ts}\right)$

时间复杂度为 $O(n)$

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=1e9;
const int N=1e5+1;
int n,vis[N],a[21],b[21],S,T,F[N];
int head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],cnt,d[N],fa[N];
ll dp[N][2][2][2][2];
void add(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v;
    nxt[cnt]=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int find(int x)
{
    return x==F[x]?x:F[x]=find(F[x]);
}
bool pd(int x,int y)
{
    return find(x)==find(y);
}
void Add(int x,int y)
{
    int a=find(x),b=find(y);
    if(a!=b) F[a]=b;
}
void dfs(int u,int f)
{
    if(vis[u]){
        S=u,T=f;
        return;
    }
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        if(to[i]!=f){
            vis[i]=1;
            dfs(to[i],u);
        }
    }
}
void Dfs(int u,int f)
{
    fa[u]=f;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=f&&(u!=T||to[i]!=S)&&(u!=S||to[i]!=T)) Dfs(to[i],u);
}
ll solve(int u,int s,int fs,int Ss,int Ts)
{
    if(dp[u][s][fs][Ss][Ts]!=-1) return dp[u][s][fs][Ss][Ts];
    ll ans=INF;
    if(u==S&&s!=Ss||u==T&&s!=Ts||u==T&&fs&&Ss) return dp[u][s][fs][Ss][Ts]=INF;
    bool pd=fs||u==S&&Ts||u==T&&Ss;
    ll ccnt=s;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        if(to[i]!=fa[u]){
            ccnt+=solve(to[i],0,s,Ss,Ts);
        }
    }
    if(pd) ans=min(ans,ccnt);
    else{
        for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
            if(to[i]!=fa[u]){
                ans=min(ans,ccnt-solve(to[i],0,s,Ss,Ts)+solve(to[i],1,s,Ss,Ts));
            }
        }
    }
    return dp[u][s][fs][Ss][Ts]=ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) F[i]=i;
    for(int i=1,x,y;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(pd(x,y)) S=x,T=y;
        else add(x,y),add(y,x),Add(x,y);
    }
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    Dfs(S,0);
    ll ans=INF;
    ans=min({ans,solve(S,0,0,0,0),solve(S,0,0,0,1),solve(S,1,0,1,0),solve(S,1,0,1,1)});
    if(ans!=INF) printf("%lld\n",ans);
    else puts("-1");
}