微积分 - 隐函数求导的应用

前置理论

已知y与x有关系,那么如何求解\frac{d}{dx}(y^{2})

令u = y^{2},则有du/dy = 2y,利用链式求导法则:

\frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{du}{dx} = \frac{du}{dy}*\frac{dy}{dx} = 2y\frac{dy}{dx}

一个简单的例子

用一个打气筒给一个完美球体充气,空气以常数速率12\pi立方米每秒进入气球,当气球的半径到达2米时,气球半径的变换率是多少?此外,当气球的体积达到36\pi立方米时,气球半径的变换率又是多少?

首先我们知道球体的体积为:V=\frac{4}{3}\pi r^{3}

我们对方程两边关于t做隐函数求导:\frac{d}{dt}V = \frac{d}{dt}(\frac{4}{3}\pi r^{3})

s = r^{3}则有ds/dr = 3r^{2},根据链式求导法则:\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dr}\frac{dr}{dt} = 3r^{2}\frac{dr}{dt}

代入方程:\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3r^{2}\frac{dr}{dt}) = 4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}

同时我们知道体积的变换速率为12\pi,所以有 12\pi = 4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}

化简得到 \frac{dr}{dt} = \frac{3}{r^{2}}

最终我们就到的了:

  1. 当气球半径为2米时的气球半径变换率是  \frac{dr}{dt} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}
  2. 当气球体积为36\pi立方米时气球的半径为3米,变换率是 \frac{dr}{dt} = \frac{3}{3^2} = \frac{1}{3}

一个稍难的例子

假设有两辆汽车A和B,汽车A向北以55公里/小时的速度远离你家,而汽车B向西以45公里/小时的速度靠近你家,当A到达你家北面21公里,B到达你家东面28公里时,两辆汽车间的距离变化率是多少

微积分 - 隐函数求导的应用_第1张图片

根据勾股定理我们知道:a^2 + b^2 = c^2

对其关于t做隐函数求导有:2a\frac{da}{dt} + 2b\frac{db}{dt} = 2c\frac{dc}{dt}

根据题目我们知道A车的速度为55,B车的速度为45,所以\frac{da}{dt}为55,但是由于B车是在靠近我们所以\frac{db}{dt}为-45,于是有:a*55 - b*45 = c\frac{dc}{dt}

最后我们将a = 21,b = 28根据勾股定理c = 35代入后可得:35\frac{dc}{dt} = 55*21 - 45*28

得到的结果是-3,于是我们知道在当前时刻,两辆汽车的距离是以3公里/小时靠近。

一个更难的例子

设想有一个巨大的圆锥水箱,锥尖在下方。圆锥的高是圆锥半径的2倍即H=2R,如果水是以8\pi立方米/秒的速率注入水箱中,求当水箱中水的体积为18\pi立方米时,水位的变换速率是多少?此外,假设水箱底部有一个小洞,致使水箱中的水以每一立方米的水以一立方米的速度向外流水(这里要注意漏水的速度可不是1立方米/秒),这种情况下,水位的变换速率是多少?

微积分 - 隐函数求导的应用_第2张图片

首先我们知道圆锥的体积公式为:V = \frac{1}{3}\pi r^2h

根据三角形相似性原则,因为▲OCD与▲OAB相似可知: h = 2r

于是有:V = \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3}\pi (\frac{h}{2})^2h = \frac{\pi h^3}{12}

对上式关于t求导:\frac{dV}{dt} = \frac{\pi }{12} \times 3h^2\frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \frac{dh}{dt}

同时我们知道注水速度为8\pi即 \frac{dV}{dt} = 8\pi,当体积为18\pi时h为6于是有:8\pi = \frac{\pi }{4} \times 6^2 \frac{dh}{dt} 可得dh/dt=8/9,也就是说当体积为18\pi时水位正在以8/9米/秒的速率上升。

现在我们来考虑下当水箱在注水的同时漏水会怎么样,由于当箱中有v立方米,则漏水的速率为v立方米/秒所以有: \frac{dV}{dt} = 8\pi - V

当体积为18\pi时:\frac{dV}{dt} = 8\pi - 18\pi = -10\pi代入上述方程后可以得到dh/dt=-10/9,也就是说当体积为18\pi时水位正在以10/9米/秒的速率下降。

一个非常难的例子

设想有一架飞机在2000公里的高空以500公里每秒的速度远离你,同时不久之前有一个跳伞员在距你1000公里远上从直升机上跳下,垂直以10公里每秒的速度落地。当两者在同一高度,飞机在你东边 8000公里时,角\theta的变换率是多少?

微积分 - 隐函数求导的应用_第3张图片

已知1000和2000这两个是始终不变的,但是h和p是会一直变换,其中h会越来越小,而p则会越来越大。

从图中我们可以得到两个关系式:tan(\alpha ) = \frac{2000}{p} 与  tan(\beta ) = \frac{h}{1000}

接着我们对上面两个公式关于t做隐函数求导:

  • 令 \upsilon = tan(\alpha ) 则有 \frac{d\upsilon }{dt} = \frac{d\upsilon }{d\alpha } \frac{d\alpha }{dt} = sec^2(\alpha )\frac{d\alpha }{dt}
  • 令 \nu = \frac{2000}{p} 则有 \frac{d\nu }{dt} = \frac{d\nu }{dp} \frac{dp}{dt } = -\frac{2000}{p^2} \frac{dp}{dt }
  • 令 \upsilon = tan(\beta ) 则有 \frac{d\upsilon }{dt} = \frac{d\upsilon }{d\beta } \frac{d\beta }{dt} = sec^2(\beta )\frac{d\beta }{dt}
  • 令 \nu = \frac{h}{1000} 则有 \frac{d\nu }{dt} = \frac{d\nu }{dh} \frac{dh}{dt } = \frac{1}{1000} \frac{dh}{dt }

于是有:

  • sec^2(\alpha )\frac{d\alpha }{dt} = -\frac{2000}{p^2} \frac{dp}{dt }   代入值有 sec^2(\alpha )\frac{d\alpha }{dt} = -\frac{2000}{8000^2} \times 500 = -\frac{1}{64}
  •  sec^2(\beta )\frac{d\beta }{dt} = \frac{1}{1000} \frac{dh}{dt }     代入值有 sec^2(\beta )\frac{d\beta }{dt} = \frac{1}{1000} \times (-10) = -\frac{1}{100}

同时我们由图知道 \theta = \beta - \alpha 推理得 \frac{d\theta }{dt} = \frac{d\beta }{dt} - \frac{d\alpha }{dt}

根据三角函数关系 sec^2(\alpha ) = 1+ tan^2(\alpha )可知

  • sec^2(\alpha ) = 1+ tan^2(\alpha ) = 1+(\frac{1}{4})^2 = \frac{17}{16}
  • sec^2(\beta ) = 1+ tan^2(\beta ) = 1+2^2 = 5

综上所述:\frac{d\theta }{dt} = \frac{d\beta }{dt} - \frac{d\alpha }{dt} = -\frac{1}{500}+\frac{1}{68} = \frac{27}{2125}

因此在当前时刻,角\theta以27/2125弧度每秒的速率变大。

你可能感兴趣的:(微积分,人工智能,微积分)