微积分 - 隐函数求导的应用

前置理论

已知y与x有关系，那么如何求解

令u = ,则有du/dy = 2y,利用链式求导法则:

一个简单的例子

用一个打气筒给一个完美球体充气，空气以常数速率12立方米每秒进入气球，当气球的半径到达2米时，气球半径的变换率是多少？此外，当气球的体积达到36立方米时，气球半径的变换率又是多少？

首先我们知道球体的体积为：

我们对方程两边关于t做隐函数求导：

令则有,根据链式求导法则：

代入方程：

同时我们知道体积的变换速率为12，所以有 

化简得到 

最终我们就到的了：

1. 当气球半径为2米时的气球半径变换率是  
2. 当气球体积为36立方米时气球的半径为3米，变换率是 

一个稍难的例子

假设有两辆汽车A和B，汽车A向北以55公里/小时的速度远离你家，而汽车B向西以45公里/小时的速度靠近你家，当A到达你家北面21公里，B到达你家东面28公里时，两辆汽车间的距离变化率是多少

根据勾股定理我们知道：

对其关于t做隐函数求导有：

根据题目我们知道A车的速度为55，B车的速度为45，所以为55，但是由于B车是在靠近我们所以为-45，于是有：

最后我们将a = 21,b = 28根据勾股定理c = 35代入后可得：

得到的结果是-3，于是我们知道在当前时刻，两辆汽车的距离是以3公里/小时靠近。

一个更难的例子

设想有一个巨大的圆锥水箱，锥尖在下方。圆锥的高是圆锥半径的2倍即H=2R，如果水是以8立方米/秒的速率注入水箱中，求当水箱中水的体积为18立方米时，水位的变换速率是多少？此外，假设水箱底部有一个小洞，致使水箱中的水以每一立方米的水以一立方米的速度向外流水（这里要注意漏水的速度可不是1立方米/秒），这种情况下，水位的变换速率是多少？

首先我们知道圆锥的体积公式为：

根据三角形相似性原则，因为▲OCD与▲OAB相似可知： h = 2r

于是有：

对上式关于t求导：

同时我们知道注水速度为8即 ,当体积为18时h为6于是有： 可得dh/dt=8/9,也就是说当体积为18时水位正在以8/9米/秒的速率上升。

现在我们来考虑下当水箱在注水的同时漏水会怎么样，由于当箱中有v立方米，则漏水的速率为v立方米/秒所以有： 

当体积为18时：代入上述方程后可以得到dh/dt=-10/9,也就是说当体积为18时水位正在以10/9米/秒的速率下降。

一个非常难的例子

设想有一架飞机在2000公里的高空以500公里每秒的速度远离你，同时不久之前有一个跳伞员在距你1000公里远上从直升机上跳下，垂直以10公里每秒的速度落地。当两者在同一高度，飞机在你东边 8000公里时，角的变换率是多少？

已知1000和2000这两个是始终不变的，但是h和p是会一直变换，其中h会越来越小，而p则会越来越大。

从图中我们可以得到两个关系式： 与  

接着我们对上面两个公式关于t做隐函数求导：

• 令  则有 
• 令  则有 
• 令  则有 
• 令  则有 

于是有：

•    代入值有 
•       代入值有 

同时我们由图知道  推理得 

根据三角函数关系 可知

• 
• 

综上所述：

因此在当前时刻，角以27/2125弧度每秒的速率变大。