余弦定理的证明

三角形ABC 过A作$AD\perp BC$，如下图：

同理可得：

$$e=a-f=a-\sqrt{b^2-h^2}$$

$$e^2=c^2-h^2$$

即：
$$\begin{gathered} (a-\sqrt{b^2-h^2}{)}^2=c^2-h^2\to \\ {a}^2-2a\sqrt{b^2-h^2}+b^2-h^2=c^2-h^2\to \\ {b}^2-h^2=(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}{)}^2\to \end{gathered}$$

$$h^2=-\frac{a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2-2a^2{c}^2-2b^2{c}^2}{4a^2}$$

$$cosB=\frac{e}{c}=\frac{a-f}{c}=\frac{a-\sqrt{b^2-h^2}}{c}=\frac{a-\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}}{c}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$