Prim Algorithm(普利姆算法)

Prim算法介绍

普里姆算法（Prim’s algorithm），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。（来源于维基百科）

Prim算法描述

普利姆(Prim)算法求最小生成树（利用贪心算法实现），也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

普利姆的算法如下:

1. 设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合
2. 若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1
3. 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入合 D 中，标记 visited[vj]=1
4. 重复步骤2，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边

最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树

Prim算法应用场景-修路问题

1. 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
2. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3. 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

思路: 尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.

代码实现

public class PrimAlgorithm {
    // 用 INF 表示两个顶点之间不连通
    public static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    public static void main(String[] args) {
        char[] data = {'A','B','C','D','E','F','G'};
        int verxs = data.length;
        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,INF 这个大数，表示两个点不联通
        int[][] weight = {
                {INF,5,7,INF,INF,INF,2},
                {5,INF,INF,9,INF,INF,3},
                {7,INF,INF,INF,8,INF,INF},
                {INF,9,INF,INF,INF,4,INF},
                {INF,INF,8,INF,INF,5,4},
                {INF,INF,INF,4,5,INF,6},
                {2,3,INF,INF,4,6,INF}
        };
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        // 瞜一眼
        System.out.println("图的邻接矩阵");
        minTree.showGraph(graph);
        System.out.println("最小生成树的顶点以及权值");
        minTree.prim(graph, 0);
    }
}

// 创建最小生成树
class MinTree {
    // 创建图的邻接矩阵
    public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) {
        int i, j;
        for (i = 0; i < verxs; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for (j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * Prim 算法，得到最小生成树
     * @param graph 图
     * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成 A表示0 B表示1 ...
     */
    public void prim(MGraph graph, int v) {
        // 用来标记结点（顶点）是否被访问过
        int[] visited = new int[graph.verxs];

        // 把当前结点标记为已访问
        visited[v] = 1;
        // h1 h2 记录两个顶点的下标
        int h1 = -1, h2 = -1;
        // 两顶点之间的权值，先初始化一个较大的数
        int minWeight = PrimAlgorithm.INF;
        // 因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1 边
        for (int k = 0; k < graph.verxs - 1; k++) {
            for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
                for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {
                    // 寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        // 记录目前权值最小的两个顶点
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }
            // 每完成一次i，j的循环，就找到一条权值最小的边
            System.out.println("<" + graph.data[h1] + ", " + graph.data[h2] + "> 权值：" + minWeight);
            // 将目前找到的顶点标记为已访问，h1（也就是i）在前面已被标记
            visited[h2] = 1;
            // 重置minWeight
            minWeight = PrimAlgorithm.INF;
        }
    }

    // 显示图的邻接矩阵
    public void showGraph(MGraph graph) {
        for (int[] link : graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
}

class MGraph {
    int verxs;// 表示图结点的个数
    char[] data;// 存放结点数据
    int[][] weight;// 邻接矩阵

    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        this.data = new char[verxs];
        this.weight = new int[verxs][verxs];
    }
}

运行结果

注：以上大部分内容来源于韩顺平老师的数据结构和算法笔记