[数学建模第二讲] TOPSIS 优劣解距离法

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TOPSIS 优劣解距离法

一般用于对已有样本进行评价/排名。

引例

按照成绩对四人进行评分

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思路：按照成绩进行1234的排名，然后因为评分越高越好，所以将排名逆转。

问题：

• 如果最高分和最低分变化后排名不变，此时评分也不变，但是考的分数就变了，而且与别人的评分差异不大（最低分得分0.1而不是0）
• 即评分无法很好地体现成绩的变化
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想法一：

• 修改构造评分的公式：

  • max,min为样本中的最高分与最低分

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• 此时未归一化的评分，最高分得分1，最低分得分0，不管最低分怎么变化，得分一直是0，和别人的评分拉开了差距。

增加指标个数

下图增加了一个指标

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指标有类型，分为：

• 极大型：数值越大越好
• 极小型：数值越小越好
• 中间型：数值越靠近一个中间数值最好
• 区间型：数值在一个区间内最好

因此要对拿到的指标转化，统一指标类型，一般都化为极大型，称为指标正向化。

步骤

1. 将原始矩阵正向化

将指标类型统一转化为极大型指标

• 极小型->极大型: 或者全部为正数时：

• 中间型->极大型:

• • 先求和最佳中间值最近的距离M，然后求每个和最佳值的距离，再和M比较，再取反

• 区间型->极大型：

  • 先求出max(左边和a的距离，右边和b的距离)=M，然后再按照区间有不同公式带入求分数

2. 正向化矩阵标准化

• 消除量纲的影响。不同指标的单位不同，因此数据数值差异很大，不利于计算，因此要标准化。

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3. 计算得分并归一化

​ 将每个样本的指标转化为两个对象：与最大值的距离和与最小值的距离，然后计算得分

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• 使用如下公式计算得分，i为第i个评价对象：

• 最大值，是一个向量，表示由每列的最大值组成的行向量：

• 最小值，是一个向量，表示由每列的最小值组成的行向量：

• 与最大值的距离：

• 与最小值的距离：

• 评分：

举例：

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我们得到处理过的矩阵Z，下面计算得分：

• 找出（最大值）=[0.6048, 0.8018]

• 找出（最小值）=[0.3665, 0]

• 计算与：

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• 计算得分
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扩展模型

带权重的TOPSIS模型：

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权重可以用层次分析法得出。但是主观性比较大。