线性代数 --- QR分解，A=QR

矩阵的QR分解，格拉姆施密特过程的矩阵表示

        首先先简单的回顾一下Gram-Schmidt正交化过程的核心思想，如何把一组线性无关的向量构造成一组标准正交向量，即，如何把矩阵A变成矩阵Q的过程。

        给定一组线性无关的向量a,b,c，我们希望构造出一组相互垂直的单位向量。

第一步：

得到一组正交向量中的第一个向量A，这就是说，我们令新的正交向量中的第一个向量A与向量a的方向相同，且大小相同。（这里我们用到了向量a）

第二步：

A的已经确定了，第二个向量B必须垂直于A。我们令b减去b在A上的投影Pb，得到我们想要的第二个向量B。a,b与A,B不同，但都在同一个平面内。注意：向量B一定不等于0，否则的话就与a,b线性无关这一事实相左。(这里我们用到了向量b)

第三步：

现在我们基于c去找第三个向量C，C必须垂直于A,B所张成的平面，即A,B所在的子空间。我们令c减去c在这个平面上的投影Pc,得到向量C。

如果还有第四个，第五个向量d,e,f,g......的话，我们只需把在这个基础上重复上述过程就能找到新的正交向量D,E,F,G......。

第四步：

当我们把前面的正交向量A,B,C全部找完以后，让他们分别除以各自的长度，最终得到一组标准正交向量q1,q2,q3。这最后一步被称为向量的归一化。

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例：

        已知一组线性无关的向量a,b,c：

第一步：令A=a得到

第二步：从b中减去b在A上的投影得到

第三步：从c中减去c在AB平面上的投影得到

第四步：归一化

一般而言，A,B,C往往会含有分数。而几乎所有的q1,q2,q3都会包含根号。

参考文献(鸣谢)：

1，Introduction to Linear Algebra，Fifth Edition - Gilbert Strang

2，线性代数及其应用，候自新，南开大学出版社 1990

3，Linear Algebra and Its Applications, Second Edition, Gilbert Strang, 1980

4，Linear Algebra and Its Applications, Fourth Edition, Gilbert Strang, 2005

（配图与本文无关）

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