递归算法

递归

当一个函数调用它自己来定义时称它为递归函数。（什么叫它自己调用它自己呢？）

1.1、引出递归

从一个简单的问题考虑递归，求0，1，2， 3，4，5......n的和。

首先定义一个求和公式：sum(n);

显然对于（n > 0）： sum(n) = sum(n - 1) + n ;

​ （n = 0 ） : sum(0) = 0;

​ 成立。

将上述公式翻译成C++函数：

unsigned int sum(unsigned int n)
{
    if(0 == n)
    {
        return 0; //基准情况(递归的出口)，sum不能一直调用它自己吧，总归要有一个出口结束递归吧
    }
    else
    {
        return sum(n - 1) + n; //sum(unsigned int)调用了它自己
    }
}

假设 n = 5 分析一下计算过程：

sum(5) = sum(4) + 5;

sum(4) = sum(3) + 4;

sum(3) = sum(2) + 3;

sum(2) = sum(1) + 2;

sum(1) = sum(0) + 1;

sum(0) = 0; 当sum(0)时，sum()不再调用它自己，作为递归的出口结束递归。

假设没有n = 0, sum(0) = 0 这个基准情况作为递归的出口跳出递归，递归就会一直递归下去，没完没了直至崩溃。因此递归函数必须有一个基准情况作为递归出口。

1.2、失败的递归

给出一个所谓的递归函数：

int bad(unsigned int n)
{
    if(0 == n)
    {
        return 0;
    }
    else
    {
        return bad(n/3 + 1) + n - 1;
    }
}

分析一下以上函数，函数给出了 n = 0 的情况作为递归的出口，看似没什么问题。

还是假设n = 5；

bad(5) ： 调用bad(5/3 + 1), 即bad(2);

bad(2) : 调用bad(2/3 + 1), 即bad(1);

bad(1) : 调用bad(1/3 + 1), 即bad(1);

bad(1) : 调用bad(1/3 + 1), 即bad(1)..........

bad(1)一直调用bad(1), 一直调用到程序崩溃。很明显bad()函数定义虽然给出了 n = 0 作为递归出口，但是bad()函数根本不会推进到n = 0 的这种情况。因此递归调用必须总能够朝着产生基准情况（递归出口）的方向推进。

1.3、递归和归纳

考虑一个问题：现在需要将一个正整数 n 打印出来，但是I/O给出的函数接口(printDigit)只能处理单个数字（即n < 10）。

我们随便假设一个n值：n = 2019，那么单个数字打印的顺序就是2， 0， 1， 9。换句话说，9是最后一个打印的，在打印9之前要先打印201，即先打印“201”，再打印“9”；依次类推对于“201”先打印“20”，再打印“1”；对于“20”先打印“2”，再打印“0”；对于2已经是单个数字，可以直接打印了, 不需要再划分，再递归了，也就是说单个数字n < 10即为递归的出口。

我们按上述思路细致的分析一下：

对2019分成2部分: 201 = 2019 / 10; 9 = 2019 % 10;

对201分成2部分：20 = 201 / 10; 1 = 201 % 10;

对20分成2部分：2 = 20 / 10; 0 = 20 % 10;

对于 2 满足 n < 10 的条件，不再递归，直接打印。

现在递归已经很明显了，尝试编写一下代码：

//假设printDigit((unsigned int n)如下，
void printDigit(unsigned int n)
{
    std::cout << n;
}

void print(unsigned int n)
{
    if(n >= 10)
    {
        print(n / 10);
    }
    printDigit(n % 10);
}

代码编写好了，现在需要证明以下代码是否正确：对于n >= 0，数的递归打印算法总是正确的。

证明：用k表示数字n的包含单个数字的个数。当k = 1，即 n < 10 时，很明显程序是正确的，因为它不需要递归，print()只调用一次printDigit(), 不调用它自己。然后假设print()对于所有k位数都能正常工作，任何k + 1位的数字n都可以通过它的前k位的数字和最低1位数字来表示。前k 位的数字恰好是[ n / 10], 归纳假设它能正常工作，而最低1位数字是[ n % 10]，因此该程序能够正确的打印出任意k + 1位。于是根据归纳法^[1]，所有数字都能被正确打印出来。

由以上实例总结可以出一条递归的设计法则：假设所有递归调用都能运行。

1.4、递归的合成效益法则

用递归实现一个斐波那契数列：

//斐波纳契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34
int f(int n)
{
    if(n < 1)
    {
        return 0;
    }
    else if(n <= 2)
    {
        return 1;
    }

    return f(n-1) + f(n-2);

}

假设n = 8, 函数调用f(8), 递归调用如下图：

调用逻辑图

由上图我们不厌其烦的数一下：

n = 1时，f()调用1次；

n = 2时，f()调用1次；

n = 3时，f()调用3次；

n = 4时，f()调用5次；

n = 5时，f()调用9次；

n = 6时，f()调用15次；

n = 7时，f()调用25次；

n = 8时，f()调用41次；

增长的是不是太快了，在f()里加一个计数器测试一下，可以看到在n = 30 的时候，f()的调用次数大约在160万。

究其原因，是因为我们在求解的过程时，重复了大量的计算过程， 在n = 8 的时候单单是f(3)就重复调用了8次。

由上我们可以得出一个结论：在求解一个问题的同一实例时，在不同的递归中做重复性的工作，对资源的消耗可能是灾难性的。

最后归纳一下要牢记的递归四条基本法则：

1. 基准情形。必须总有某些基准情况，它无须递归就能求解，即递归必须有出口。
2. 不断推进。对于那些需要递归求解的情形，每一次递归调用都必须要使求解状态朝基准情形的方向推进。
3. 设计法则。假设所有的递归调用都能运行。
4. 合成效益法则。在求解一个问题的同一实例时，切勿在不同的递归中做重复性的工作。

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1. 1、证明当n= 1时命题成立。2、假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）。3、归纳结论。 ↩