数据结构-二叉搜索树（BST）

二叉树搜索的性质

非空二叉搜索树具有以下性质：
1）若左子树不为空，则左子树所有结点的值均小于或等于它根节点的值；
2）若右子树不为空，则右子树所有结点的值均大于或等于它根节点的值；
3）它的左右子树也是一颗二叉搜索树（空树也是二叉搜索树）
4）中序遍历为递增序列（ 元素不重复）
如图：

二叉搜索树的数据结构

这里树结点的值以int举例

struct node {
	node(int x = 0) :val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
	int val;
	node* left;
	node* right;
	void show(){ //中序遍历
		if (this != nullptr) {
			this->left->show();
			cout << this->val<< " ";
			this->right->show();
		}
	}
};
class BST {
	node* root;
public:
	BST() :root(nullptr){ }
	bool query(int x);
	void insert(int x)；
	void show() {
		root->show();
		cout << endl;
	}
};

二叉搜索树的查询

以根节点为当前节点开始查找
）若当前节点为空，返回false；
）若当前节点的值等于要查找的值，返回true；
）若当前节点的值小于要查找的值，当前节点更新为当前节点的右节点；
）若当前节点的值大于要查找的值，当前节点更新为当前节点的左节点；

假如我们要查找4，从根节点6开始找，4 < 6,当前节点更新为3，4 > 3，当前节点更新为4，4 = 4，return true；
查找5，从根节点6开始找，5 < 6,当前节点更新为3，5> 3，当前节点更新为4，5 > 4，4的右子树为空，当前节点更新为空， return false；

bool BST::query(int x) {
		if (root == nullptr) return false;
		node* p = root;
		while (p != nullptr) {
			if (p->val == x) return true;
			else if (p->val > x) p = p->left;
			else if (p->val < x) p = p->right;
		}
		return false;
	}

二叉搜索树的插入

插入操作跟查询操作类似
）若根结点为空，把根节点指向新节点，插入完成

若根结点不为空，以根结点为当前节点，找到要插入的位置
）若当前节点的值小于要插入结点的值，若左结点为空，令当前结点的左结点指向新节点，插入完成；若左结点不为空，当前结点更新为当前结点的左结点；
）若当前节点的值大于要插入结点的值，若右结点为空，令当前结点的右结点指向新节点，插入完成；若右结点不为空，当前结点更新为当前结点的右结点；

void BST::insert(int x)
	{
		if (root == nullptr) {
			root = new node(x);
			return;
		}
		node* newnode = new node(x);
		node* p = root;
		while (p != nullptr)
		{
			if (x < p->val)
			{
				if (p->left == nullptr) {
					p->left = newnode;
					return;
				}
				p = p->left;
			}
			else {
				if (p->right == nullptr) {
					p->right = newnode;
					return;
				}
				p = p->right;
			}
		}
	}

二叉搜索树的验证

#include 
#include 
using namespace std;

struct node {
	node(int x = 0) :val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
	int val;
	node* left;
	node* right;
	void show() {
		if (this != nullptr) {
			this->left->show();
			cout << this->val<< " ";
			this->right->show();
		}
	}
};

class BST {
	node* root;
public:
	BST() :root(nullptr){ }

	void insert(int x){
		if (root == nullptr) {
			root = new node(x);
			return;
		}
		node* newnode = new node(x);
		node* p = root;
		while (p != nullptr){
			if (x < p->val){
				if (p->left == nullptr) {
					p->left = newnode;
					return;
				}
				p = p->left;
			}
			else {
				if (p->right == nullptr) {
					p->right = newnode;
					return;
				}
				p = p->right;
			}
		}
	}
	void show() {
		root->show();
		cout << endl;
	}
	bool query(int x) {
		if (root == nullptr) return false;
		node* p = root;
		while (p != nullptr) {
			if (p->val == x) return true;
			else if (p->val > x) p = p->left;
			else if (p->val < x) p = p->right;
		}
		return false;
	}
};

void testNums(vector<int>& v) {
	for (int i = 0; i < 100; i++) {
		v.push_back(rand() % 100);
	}
}

int main()
{
	BST* t = new BST;
	vector<int> v;
	testNums(v);
	for (int i = 0; i < 100; i++) {
		cout << v[i] << " ";
	}
	cout << endl;
	for (int i = 0; i < 100; i++) {
		t->insert(v[i]);
	}
	t->show();

	cout << "11::" << t->query(11) << endl;
	cout << "13::" << t->query(13) << endl;
	cout << "15::" << t->query(15) << endl;
	cout << "21::" << t->query(21) << endl;
	cout << "31::" << t->query(31) << endl;
}