通过坐标平移实现非完整约束系统的反馈线性化

通过坐标平移实现非完整约束系统的反馈线性化

学习用，翻译自YAMAMOTO Y, YUN X, 1992. Coordinating locomotion and manipulation of a mobile manipulator[C/OL]//[1992] Proceedings of the 31st IEEE Conference on Decision and Control. 2643-2648 卷3. DOI:10.1109/CDC.1992.371337.的部分

非完整系统

系统方程

考虑m个双边约束下具有n个广义坐标q的机械系统，其动力学方程可以通过欧拉拉格朗日方程
$$M(q)\ddot{q}+V(q,\dot{q})=E(q)\tau -A^T(q)\lambda \text{\hspace{1em}(1)}$$
确立，
其中$M(q)$是$n\times n$的惯性矩阵，
$V(q,\dot{q})$是关于位置和速度的阻力向量，
$E(q)$是$n\times r$的输入转换矩阵，
$\tau$是$r$维输入向量，
$A(q)$是$m\times n$的雅克比矩阵，
$\lambda$是约束力向量。
该机械系统的$m$个约束方程可以写成
$$C(q,\dot{q})=0.$$
如果其中的一个约束方程可以写成，
或者通过积分可以转化为$C_i(q)=0$的形式，那么该约束是完整约束。
否则，该约束为动力学约束（非几何约束），一般称为非完整(nonholonomic)约束。

假设有$k$个完整的以及$m-k$个非完整的独立约束，他们都可以写成
$$A(q)\dot{q}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
的形式。

令$s_q(q),\cdots ,s_{n-m}(q)$为$A(q)$的零空间中的光滑并且线性不相关的向量场，i.e.
$$A(q)s_i(q)=0,i=1,\dots ,n-m$$
令$S(q)$为由这些向量组成的满秩矩阵
$$S(q)=[s_1(q)\cdots s_{n-m}(q)]$$
令$\Delta$为这些向量场张成的分布
$$\Delta =span\{s_1(q),\cdots ,s_{n-m}(q)\}$$
因此，$\dot{q}\in \Delta$。
我们无法确定$\Delta$是否对合(involutive)。
可以令${\Delta }^{\ast }$为包含$\Delta$的最小的对合分布。
可知$dim(\Delta )\le dim({\Delta }^{\ast })=k$。

G. Campion 1991发现共由三种情况

1. $k=m$，所有的约束都是完整的，$\Delta$自身就是对合的
2. $k=0$，所有的约束都是非完整的，$\Delta \ast$为整个空间
3. $0<k<m$，$k$个约束是可积的，并且广义坐标的$k$个分量可能可以被运动方程消去。这种情况下$dim({\Delta }^{\ast })=n-k$

状态空间表达

考虑由(1)(3)定义与约束的系统，
由于受约束的速度总是在$A(q)$的零空间中，
可以定义$n-m$个速度$v(t)=[v_1{v}_2\cdots v_{n-m}]$使得
$$\dot{q}=S(q)v(t)\text{\hspace{1em}(5)}$$
这些速度需要是不可积的。
对(5)微分，并代入(1)中的$\ddot{q}$，同时前乘$S^T$
$$S^T(MS\dot{v}(t)+M\dot{S}v(t)+V)=S^{T}E\tau$$

选取状态量$x=[q^T{v}^T{]}^T$，可得
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{c}Sv\\ f_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ (S^{T}MS{)}^{-1}{S}^{T}E\end{array}\right]\tau$$
其中，$f_2=(S^{T}MS{)}^{-1}(-S^{T}M\dot{S}v-S^{T}V)$。
假设执行器的输入数量大于或等于机械系统的自由度($t\ge n-m$)
并且$(S^{T}MS{)}^{-1}{S}^{T}E$的秩为$n-m$，
我们可能可以应用非线性反馈
$$\tau ={\left((S^{T}MS{)}^{-1}{S}^{T}E\right)}^{+}(u-f_2)$$
其中上标$+$表示矩阵的广义逆。
于是状态方程可以简化为
$$\dot{x}=f(x)+g(x)u,f(x)=\left[\begin{array}{c}S(q)v\\ 0\end{array}\right],g(x)=\left[\begin{array}{c}0\\ I\end{array}\right],$$

控制属性

定理1: 非完整系统(10)是可控的

定理2：非完整系统的平衡点$x=0$，通过一个光滑的状态反馈控制，可以使其拉格朗日稳定，
但是无法使其渐近稳定。

余下的部分，我们考虑公式(3)同时包含完整约束以及非完整约束的情况。

定理3：如果系统(10)存在至少一个约束是非完整的，那么它不是可以通过状态反馈可以输入状态可线性化的

证明：系统如果输入状态可线性化，需要满足两个条件，可以发现对合条件并不满足。

1. the strong accessibility condition
2. the involutivity condition

定义一组分布
$$D_j=span\{L_f^{i}g|i=0,1,\dots ,j-1\},j=1,2,\dots$$
对合性要求$D_1,D_2,\dots ,D_{2n-m}$都是对合的。
注意系统的状态数为$2n-m$。
由于$g$是常数，所以$D_1=span\{g\}$是对合的。
下面计算
$$L_{f}g=[f,g]=\frac{\partial g}{\partial x}f-\frac{\partial f}{\partial x}g=-\left[\begin{array}{c}S(q)\\ 0\end{array}\right]$$
由于由$S(q)$的列张成的分布$\Delta$不是对合的，
分布$D_2=span\{g,L_{f}g\}$不是对合的。
因此，系统不是输入-状态可线性化的。
$■$

尽管带有非完整约束的系统不是输入-状态可线性化的，
如果选取合适的输出方程，他是可以输入-输出线性化的。
考察系统的位置控制，也就是说输入方程只关于位置量$q$。
既然系统的自由度数为$n-m$，我们可能至多有$n-m$个独立的位置输出方程。
$$y=h(q)=[h_1(q)\cdots h_{n-m}(q)]\text{\hspace{1em}(11)}$$
可以输入输出线性化的充要条件为解耦矩阵满秩 ref20。
使用(11)的输出方程，系统的解耦矩阵$\Phi (x)$是$(n-m)\times (n-m)$的矩阵
$$\Phi (q)=J_h(q)S(q)$$
其中$J_h=\frac{\partial h}{\partial q}$是一个$(n-m)\times n$的Jacobian矩阵。
当$J_h$的行与$A(q)$独立的时候，\Phi(x)$ 是非奇异的

为了刻画零动态并且实现输入-输出线性化，引入新的状态变量$z$，于是

z = T ( x ) = [ z 1 z 2 z 3 ] = [ h ( q ) L f h ( q ) h ~ ( q ) ] = [ h ( q ) Φ ( q ) v h ~ ( q ) ] z=T(x)=\begin{bmatrix}z_1\\ z_2\\ z_3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}h(q)\\ L_f h(q)\\\tilde{h}(q)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}h(q)\\\Phi(q) v\\\tilde{h}(q)\end{bmatrix} z=T(x)= ​z1​z2​z3​​ ​= ​h(q)Lf​h(q)h~(q)​ ​= ​h(q)Φ(q)vh~(q)​ ​

其中$\tilde{h}(q)$是可以使$[J_h^T,J_{\tilde{h}}^T]$满秩的m维函数。
可以验证$T(x)$是微分同胚并且是一个合理的状态变换。
新的状态$z$下的系统为：

$${\dot{z}}_1=\frac{\partial h}{\partial q}\dot{q}=z_2$$

$${\dot{z}}_2=\dot{\Phi }(q)v+\Phi (q)u$$

$${\dot{z}}_3=J_{\tilde{h}}Sv=J_{\tilde{h}}S(J_{h}S{)}^{-1}{z}_2$$

使用如下的状态反馈

$$u={\Phi }^{-1}(q)(v-\dot{\Phi }(q)v)$$

我们实现了输入-输出线性化，同时实现了输入-输出解耦。
系统的可观测部分为

$${\dot{z}}_1=z_2,{\dot{z}}_2=vy=z_1$$

系统的不可观测部分为：（代入$z_1=0$和$z_2=0$）

$${\dot{z}}_3=0$$

这个系统显然是Lagrange稳定的但是不是渐近稳定。