数学建模学习记录——时间序列

一、基本概念

• 时间序列也称动态序列，是指将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列。

• 时间序列分析大致可分成三大部分，分别是描述过去、分析规律和预测未来。

• 时间序列数据： 对同一对象在不同时间连续观察所取得的数据。

• 时间序列由两个组成要素构成：

  • 第一个要素是时间要素； 年、季度、月、周、日、小时、分钟、秒
  • 第二个要素是数值要素。

• 时间序列根据时间和数值性质的不同，可以分为时期时间序列和时点时间序列。 时期序列可加，时点序列不可加。

二、时间序列分解

时间序列的数值变化规律

以上四种变动就是时间序列数值变化的分解结果。有时这些变动会同 时出现在一个时间序列里面，有时也可能只出现一种或几种，这是由引起 各种变动的影响因素决定的。正是由于变动组合的不确定性，时间序列的 数值变化才那么千变万化。 四种变动与指标数值最终变动的关系可能是叠加关系，也可能是乘积关系。

下面以某产品销售预测为例，学习一下如何确定季节成分，并从序列中将季节成分剔除。

Spss处理时间序列中的缺失值

第一件事，就是要确保数据的完整性！！

• 缺失值发生在时间序列的开头或者尾部，可采用直接删除的方法

• 缺失值发生在序列的中间位置，则不能删除（删除后原有的时间序列会错位）， 可采用替换缺失值的方法。

• Spss替换缺失值的五种方法
  

Spss软件定义时间变量

时间序列图（时序图）

季节性分解

要进行预测，需要将所有的成分分解开，然后才能进行预测，这里先进行季节性分解

结果解读

如果采用乘法分解，那么乘法季节因子的积为1

画出分解后的时序图

三、建立时间序列分析模型

完成分解后，就需要使用具体的模型来进行数据预测 ~
Spss内置专家建模器，会自动选择最合适的模型，使得我们无需深究模型的推导，只需知道模型及其参数所代表的含义即可

指数平滑模型

• Spss官方文档
  

Simple模型

线性趋势模型(linear trend)

阻尼趋势模型(Damped trend)

霍特趋势和阻尼趋势预测

简单季节性(Simple seasonal)

温特加法模型(Winters’ additive)

温特乘法模型(Winters’ multiplicative)

一元时间序列分析的模型

时间序列的平稳性(stationary series)

差分方程

差分方程的特征方程

滞后算子

AR（p）模型(auto regressive)

注意： 我们讨论的AR（p）模型一定 是平稳的时间序列模型， 如果原数据不平稳也要先转换为平稳的数据才能再进行建模。

• AR（p）模型平稳的条件

• AR（p）模型的重要结论
  

MA（q）模型(moving average)

只要q是常数，那么MA(q)模型一定是平稳的。

MA模型和AR模型的关系

• 可以将1阶移动平均模型转换为无穷阶的自回归模型，这一性质称为移动平均模型的可逆性；类似的，我们在某些条件下（可逆性条件）也可以将MA(q)模型也转换为无穷阶的自回归过程。
• 一般地，任何经济变量的时间序列都可以自回归过程来描述。但在模型分析的实 践中，为简化估计参数的工作量，我们当然希望模型当中的参数尽可能地少。于是便 有了引进移动平均过程MA(q)的必要。

ARMA(p,q)模型

自回归移动平均模型(Autoregressive Moving Average,ARMA)，就是设法将自回归过程AR和移动平均过程MA结合起来，共同模拟产生既有时间序列样本数据的那个随机过程的模型。ARMA(p,q)平稳性只和自回归AR（p）部分有关

ACF自相关系数与PACF偏自相关函数

ARIMA(p,d,q)模型

SARIMA(Seasonal ARIMA)模型

四、Spss时间序列建模思路

1. 处理数据的缺失值问题、生成时间变量并画出时间序列图；
2. 数据是否为季度数据或者月份数据（至少有两个完整的周期，即两年），如果是的话则要观察图形中是否存在季节性波动。
3. 根据时间序列图大致判断数据是否为平稳序列（数据围绕着均值上下波动， 无趋势和季节性）
4. 打开Spss，分析‐‐时间序列预测—创建传统模型，看看 Spss专家建模器得出的优的模型类型。
5. 如果后的结果是ARIMA(p,0,q)模型，那么我们就可以画出时间序列的样本 ACF和PACF图形进行分析；如果得到的是ARIMA(p,1,q)模型，我们可以先对数据进行 1阶差分后再用ACF和PACF图形分析；如果得到的结果与季节性相关，那么我们可以考虑使用时间序列分解。