时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

如何理解算法时间复杂度

1.时间复杂度，表示形式为 Big O notation 

    时间复杂度也可以理解为指令执行多少次。好的时间复杂度程序，会让程序跑起来更快更节约资源。从所有可能的解决方法中找出 时间最快、内存最少 的最优解决方法。

2.常见的几种时间复杂度

    O表示它的复杂度是n的怎样的一个函数

    O(1)：Constant Complexity 常数复杂度

    O(log n)：Logarithmic Complexity 对数复杂度

    O(n)：Linear Complexity 线性时间复杂度

    O(n^2)：N square Complexity 平方

    O(n^3)：N cubic Complexity 立方

    O(2^n)：Exponential Complexity 指数

    O(n!)：Factorial 阶乘

常数复杂度

线性、平方 时间复杂度

对数、指数 复杂度

时间复杂度曲线

3.递归 时间复杂度分析

递归，关键是了解它的递归总共执行了语句多少次。循环，比较好理解，n次循环就执行了n次语句。递归是层层嵌套的，通常可以把它的执行顺序画出一个树形结构。

时间复杂度：O(2^n)

两个现象：

1.每多展开一层，运行的节点数就是上面一层的2倍。第一层1个节点，第二层2个节点，第三层4个节点，第四层8个节点........以此类推，它每一层的节点数即它的执行次数 是按指数级递增的。由此可见，当到最后一层的话，会变成2的n次方，大概这么一个数量级的节点。那么可以肯定，最后总的执行次数，就是变成指数级了。

2.有重复的节点出现在执行状态数中。F1、F2、F3都被重复计算很多次，这些大量冗余的计算，导致求第6个数的Fibonacci数变成了2的6次方这么一个繁复的时间复杂度。面试中不要这么写算法，可以加缓存，把中间节点的结果缓存下来，或者直接用循环来写求和。

主定理

主定理：解决所有递归函数怎么计算时间复杂度

常用主定理

1》二分查找：有序数列，一分为二，只在一边进行查找，O(log n)。

2》二叉树遍历：每次一分为二，但每一边是相等的时间复杂度这么下去。简化思维：二叉树遍历每个节点都会访问一次，且仅访问一次，O(n)。

3》有序的二维矩阵：如果是一维的数组进行二分查找为O(log n)，有序的二维矩阵二分查找时，被降了一维就不是n平方的算法，而是O(n)。

4》归并排序

空间复杂度

两条原则：

1.如果代码里开了数组，那么数组的长度基本上就是你的空间复杂度。譬如长度为n的一维数据，空间复杂度为O(n)。长度为n平方的二维数组，空间复杂度为O(n^2)。

2.如果有递归的话，递归的深度就是就是你的空间复杂度的最大值。如果又有数组又有递归，那两者之间的最大值就是你的空间复杂度。

算法分析题解答：爬楼梯