算法-动态规划-背包问题

背包问题是基础的动态规划问题，包含了0-1背包，完全背包，多重背包等。

0-1背包

存在容量为 的背包 ， 件体积分别为，重量为的物品。求解将哪些物品放入背包使得体积不超出 的情况下重量最重，物品不得重复使用。

解法

对于 0-1背包问题，每一件物品只存在放或者不放这两种情况。例如，讨论是否放入最后一个物品存在两种情况:

1. 不放入该物品，那么结果转化为 容量为，物品为前子问题的结果
2. 放入该物品，那么结果转化为容量为，物品为前子问题的结果 +

利用函数 表示前 件物品放入容量为的背包中所能获得的最大重量，那么我们的问题结果为:

等式右边两个函数分别表示情况1, 2所对应的结果，取其中较大的则为问题最终的结果。同样，这个函数可以扩展到一般情况，即把换成:

这里举一个实际的例子来说明这个算法，对于,,来说，我们实际上要求.根据上式:

而:

可以看出，这是一个递归的问题，最终当即可退出递归，而:

同过一系列的递归，则可以求得最终的值。用python来描述即为:

def one_zero_r(C, W, V):
    def helper(i, v, dir):
        if not i:
            return W[0] if v >= C[0] else 0
        if v >= C[i]:
            return max(helper(i - 1, v - C[i]) + W[i], helper(i - 1, v))
        else:
            return helper(i - 1, v)
    return helper(len(C) - 1, V)

同时，还可以画出求解的状态图:

状态图