力扣刷题-动态规划算法3：完全背包问题
目录
- 1. 完全背包问题概念
- 2. 完全背包问题第一种：求最大价值（和题目描述一致）
- 3. 完全背包问题第二种：求最多的组合（类似0-1第二种）
- 4. 完全背包的总结
-
- 4.1 第一类完全背包问题：：求最大价值
- 4.2 第二类完全背包问题：装满可能性
- 4.3 0-1背包和完全背包的区别：就在重量是否是正逆序上面。
- 第一题：518.零钱兑换II（完全背包第二类问题：组合数）
- 第二题：377.组合总和IV（完全背包第二类问题，考虑排列数）
- 第三题：70.爬楼梯（完全背包第二类问题，考虑排列数）
- 第四题：322.零钱兑换（完全背包第一类问题，求最小值）
- 第五题：279.完全平方数（完全背包第一类问题，求最小值）
- 第六题：139.单词拆分？（完全背包第一类问题，求可能不可能）
- 7. 多重背包问题
- 8. 总结：
1. 完全背包问题概念
-
问题描述：
1）有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。
2）每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）（比0-1背包多出的条件）
3） 求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。 -
求解步骤：
1）首先遍历物品，然后遍历重量，都是从小到大遍历，顺序没有关系（因为性价比最高的只有一个）
2. 完全背包问题第一种：求最大价值（和题目描述一致）
- 代码
//1. 先遍历物品，再遍历重量最常见，也更好理解一点
public class demo2 {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = new int[]{1, 3, 4};
int[] value = new int[]{15, 20, 30};
int maxweight = 4;
//1）dp数组的定义，默认初始化零
int[] dp = new int[maxweight + 1];
//2)遍历和迭代：先物品再重量，是正序
for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
for (int j = weight[i]; j <= maxweight ; j++) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
System.out.println("dp=" + Arrays.toString(dp));
}
}
//2. 先遍历重量，再遍历物品
public class demo2 {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = new int[]{1, 3, 4};
int[] value = new int[]{15, 20, 30};
int maxweight = 4;
//1）dp数组的定义，默认初始化零
int[] dp = new int[maxweight + 1];
//2)遍历和迭代：先重量再物品，是正序
for (int j = 0; j <= maxweight ; j++) {
for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
if(j>=weight[i]) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
System.out.println("dp=" + Arrays.toString(dp));
}
}
3. 完全背包问题第二种：求最多的组合（类似0-1第二种）
题目描述：容量为k背包，存放物品int[] coins，装满有多少种可能性(每种物品有无限个）
注意：遍历先物品还是先重量是有区别的：
1）先物品再重量，那么就是组合数
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
public int change(int amount, int[] coins) {
//1)dp数组的定义和初始化
int[] dp =new int[amount+1];
dp[0]=1;
//2)dp数组遍历和迭代 //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。
for(int i=0;i<coins.length;i++){
for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
dp[j]+=dp[j-coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
1）先重量再物品，那么就是排列数
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
public int change(int amount, int[] coins) {
//1)dp数组的定义和初始化
int[] dp =new int[amount+1];
dp[0]=1;
//2)dp数组遍历和迭代 //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。
for(int j=0;j<=amount;j++){
for(int i=0;i<coins.length;i++){
if(j>=coins[i]) dp[j]+=dp[j-coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
4. 完全背包的总结
4.1 第一类完全背包问题：：求最大价值
1）问题描述：若干个物品，每个物品有对应的重量和价值，当背包大小固定为K时，如何装存物品，使得背包中物品的价值最大？其中同一种物品的个数不限制。
2）求解方法：
（1）：用一维dp数组：使用默认初值0；双层遍历，先正序遍历物品，再正序遍历重量或者先正序遍历重量，再逆序遍历物品，两种遍历方向都可以，但是必须都为正序遍历。
4.2 第二类完全背包问题：装满可能性
1）问题描述：容量为k背包，存放物品，装满有多少种可能性？其中同一种物品的个数不限制。
2）求解方法：
（1）：用一维dp数组：dp[0]=1；双层遍历
先正序遍历物品，再正序遍历重量,迭代方法为累加,求的是组合数；
先正序遍历重量，再正序遍历物品,迭代方法为累加,求的是排列数。
4.3 0-1背包和完全背包的区别：就在重量是否是正逆序上面。
第一题：518.零钱兑换II（完全背包第二类问题：组合数）
- 题目描述
```
2. 步骤
1）就是第二类完全背包问题，求背包满的种类数，只是这里用了组合数，所以需要先遍历物品，再遍历重量。
4. 代码
```java
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
public int change(int amount, int[] coins) {
//1)dp数组的定义和初始化
int[] dp =new int[amount+1];
dp[0]=1;
//2)dp数组遍历和迭代 //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。//先物品再重量
for(int i=0;i第二题：377.组合总和IV（完全背包第二类问题，考虑排列数）
-
题目描述
-
解题步骤
1）就是第二类完全背包问题，求背包满的种类数，只是这里用了排列数，所以需要先遍历重量，再遍历物品。 -
代码：
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
//定义dp数组，并初始化
int[] dp=new int[target+1];
dp[0]=1;
//迭代遍历：先金额，再硬币种类
for(int i=0;i<=target;i++){
for(int j=0;j<nums.length;j++){
if(i>=nums[j]) dp[i]+=dp[i-nums[j]];
}
}
return dp[target];
}
第三题：70.爬楼梯（完全背包第二类问题，考虑排列数）
- 题目描述
- 解题思路
1）这是之前出现的一道题目，用斐波那契算法类似的。
2）也可以从完全背包方面进行解析。 - 代码
//以前的思路
public int climbStairs(int n) {
//1）斐波那契算法
int[] dp=new int[n+1];
if(n<=2) return n;
dp[0]=0;
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for(int i=3;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
//完全背包的思路
public int climbStairs(int n) {
//完全背包问题:两个物体【1和2】，背包的大小为n,物品的个数为无限
//求解符合要求的情况有多少种，求排列数
//1)dp数组的定义和初始化
int[] dp=new int[n+1];
dp[0]=1;
//2）遍历和迭代:先背包，后物品，正序
for(int i=0;i<=n;i++ ){
for(int j=1;j<=2;j++){
if(i>=j) dp[i]+=dp[i-j];
}
}
return dp[n];
}
第四题：322.零钱兑换（完全背包第一类问题，求最小值）
- 题目描述
- 解题步骤
1）先遍历物品，再遍历钱；
2）dp[ i] 数组的含义为：为了凑成总金额所需的最少硬币个数
3）迭代公式：
（1）：加入硬币i,故其硬币总数为：dp[ j-weight[ i ] ]+1
（2）：不加入硬币i,故其硬币维持之前的为：dp[ j ] - 代码
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
//核心思路：这是一个典型的完全背包问题，两层遍历，从前向后，只是迭代公式不一样
//迭代公式：dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)
//dp数组的新建和初始化(第一个为0，剩下的初始为最大值max)
int max=Integer.MAX_VALUE;
int[] dp=new int[amount+1];
for(int i=1;i<amount+1;i++){
dp[i]=max;
}
//System.out.println("dp1="+ Arrays.toString(dp));
//遍历（没有顺序）
for(int i=0;i<coins.length;i++){
for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
//易错点：如果退回去的值dp[j-coins[i]]=max,那么这一步就不算数
if(dp[j-coins[i]]!=max) dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
}
//System.out.println("dp="+ Arrays.toString(dp));
}
//返回判断：如果最后时max,则不能够组成
return dp[amount]==max?-1 : dp[amount] ;
}
}
- 注意点：
1）初始化数组的时候，因为要比较的是最小值，所以第一个值初始化为0，后面的初始化应该为比较大的值（相对于于比较最大值的区别）
2）在中间比较的时候，当之前的硬币数数有效时，即不是初始值的时候，才是有效的，进行判断才有价值。
第五题：279.完全平方数（完全背包第一类问题，求最小值）
- 题目描述
- 解题步骤
1）此题和上一题一模一样，只是需要通过给定的n，然后自己给出物品数组 - 代码
class Solution {
public int numSquares(int n) {
//1）根据给定的值，得出物品的集合
int[] things=new int[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++) things[i]=i*i;
//System.out.println(Arrays.toString(things));
//2)初始化dp数组
int max=Integer.MAX_VALUE;
int[] dp=new int[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=max;
//System.out.println(Arrays.toString(dp));
//3)遍历和迭代
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=things[i];j<=n;j++){
if(dp[j-things[i]]!=max) dp[ j ]=Math.min(dp[j-things[i]]+1, dp[j]);
}
}
//4）输出
return dp[n];
}
}
第六题：139.单词拆分？（完全背包第一类问题，求可能不可能）
- 题目描述
- 解题步骤
1）dp[i] :即从0-i个字符，是否都在wordDict里面能够找到对应的值；可能是全部，可能是一部分。
2）迭代公式：
（1）：把s的前i个字符分为两部分：如果前面一部分已经判断能够找到，剩下的一部分能够凑成一个单词，那么就可以判定为true了。
3）遍历顺序：遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。内循环从前到后。 - 代码
class Solution {
public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
//完全背包问题:数组就是硬币,字符串就是金钱
//1)数组的定义和初始化:boolean[] 默认值为false;
boolean[] dp=new boolean[s.length()+1];
dp[0]=true; //dp[0]=true;
//2)遍历迭代：先重量，后物品
for(int i=1;i<=s.length();i++){ //**遍历背包**
for(int j=0;j<i;j++) //**遍历物品**
//前一部分 dp[j]=s.substring(0,j+1)在字典中能够找到
//后一部分：wordDoct.contains(s.substring(j,i) 能够找到对应的单词
if( dp[j] && wordDict.contains(s.substring(j,i)) ) dp[i]=true;
}
//3)输出：
return dp[s.length()];
}
}
7. 多重背包问题
- 有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。
- 与0-1背包问题区别：0-1背包问题每件物品个数为1，而多重背包为设定的值x
- 求解思路：直接在0-1背包问题上面进行改写：先遍历物品，再遍历重量，然后再加一层循环，即遍历物品的个数，就可以解出来了。
8. 总结：
- 完全背包第二类问题：求解装满背包的种类：
（0）：迭代公式：dp[j] += dp[j - nums[i]]
（1）：组合数：518.零钱兑换II
（2）：排列数：377.组合总和IV，70.爬楼梯 - 完全背包第一类问题：问装满背包所有物品的最小个数：
（0）：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
（1）：322.零钱兑换
（2）：279. 完全平方数