AR(I)MA时间序列建模过程——步骤和python代码
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1.异常值和缺失值的处理
这绝对是数据分析时让所有人都头疼的问题。异常和缺失值会破坏数据的分布，并且干扰分析的结果，怎么处理它们是一门大学问，而我根本还没入门。
（1）异常值
3 ways to remove outliers from your data提供了关于如何对时间序列数据进行异常值检测的方法，作者认为移动中位数的方法最好，代码如下：
from pandas import rolling_median
threshold = 3 #指的是判定一个点为异常的阈值
df['pandas'] = rolling_median(df['u'], window=3, center=True).fillna(method='bfill').fillna(method='ffill')
#df['u']是原始数据，df['pandas'] 是求移动中位数后的结果，window指的是移动平均的窗口宽度
difference = np.abs(df['u'] - df['pandas'])
outlier_idx = difference > threshold
rolling_median函数详细说明参见pandas.rolling_median
(2)缺失值
缺失值在DataFrame中显示为nan，它会导致ARMA无法拟合，因此一定要进行处理。
a.用序列的均值代替，这样的好处是在计算方差时候不会受影响。但是连续几个nan即使这样替代也会在差分时候重新变成nan，从而影响拟合回归模型。
b.直接删除。我在很多案例上看到这样的做法，但是当一个序列中间的nan太多时，我无法确定这样的做法是否还合理。
2.平稳性检验
序列平稳性是进行时间序列分析的前提条件，主要是运用ADF检验。
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
def test_stationarity(timeseries):
dftest = adfuller(timeseries, autolag='AIC')
return dftest[1]
#此函数返回的是p值
adfuller函数详细说明参见statsmodels.tsa.stattools.adfuller
3.不平稳的处理
（1）对数处理。对数处理可以减小数据的波动，因此无论第1步检验出序列是否平稳，都最好取一次对数。关于为什么统计、计量学家都喜欢对数的原因，知乎上也有讨论：在统计学中为什么要对变量取对数？
（2）差分。一般来说，非纯随机的时间序列经一阶差分或者二阶差分之后就会变得平稳。那差分几阶合理呢？我的观点是：在保证ADF检验的p<0.01的情况下，阶数越小越好**，否则会带来样本减少、还原序列麻烦、预测困难的问题。——这是我的直觉，还没有查阅资料求证。基于这样的想法，构造了选择差分阶数的函数：
def best_diff(df, maxdiff = 8):
p_set = {}
for i in range(0, maxdiff):
temp = df.copy() #每次循环前，重置
if i == 0:
temp['diff'] = temp[temp.columns[1]]
else:
temp['diff'] = temp[temp.columns[1]].diff(i)
temp = temp.drop(temp.iloc[:i].index) #差分后，前几行的数据会变成nan，所以删掉
pvalue = test_stationarity(temp['diff'])
p_set[i] = pvalue
p_df = pd.DataFrame.from_dict(p_set, orient="index")
p_df.columns = ['p_value']
i = 0
while i < len(p_df):
if p_df['p_value'][i]<0.01:
bestdiff = i
break
i += 1
return bestdiff
（3）平滑法。利用移动平均的方法来处理数据，可能可以用来处理周期性因素，我还没实践过。
（4）分解法。将时间序列分解成长期趋势、季节趋势和随机成分，同样没实践过。
对于（3）（4），参见《python时间序列分析》或者Complete guide to create a Time Series Forecast (with Codes in Python)【翻译版《时间序列预测全攻略（附带Python代码）》】
4.随机性检验
只有时间序列不是一个白噪声（纯随机序列）的时候，该序列才可做分析。（参考自：《时间序列ARIMA模型详解：python实现店铺一周销售量预测》）
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
def test_stochastic(ts):
p_value = acorr_ljungbox(ts, lags=1)[1] #lags可自定义
return p_value
acorr_ljungbox函数详细说明参见statsmodels.stats.diagnostic.acorr_ljungbox
5.确定ARMA的阶数
ARMA(p,q)是AR(p)和MA(q)模型的组合，关于p和q的选择，一种方法是观察自相关图ACF和偏相关图PACF, 另一种方法是通过借助AIC、BIC统计量自动确定。由于我有几千个时间序列需要分别预测，所以选取自动的方式，而BIC可以有效应对模型的过拟合，因而选定BIC作为判断标准。
from statsmodels.tsa.arima_model import ARMA
def proper_model(data_ts, maxLag):
init_bic = float("inf")
init_p = 0
init_q = 0
init_properModel = None
for p in np.arange(maxLag):
for q in np.arange(maxLag):
model = ARMA(data_ts, order=(p, q))
try:
results_ARMA = model.fit(disp=-1, method='css')
except:
continue
bic = results_ARMA.bic
if bic < init_bic:
init_p = p
init_q = q
init_properModel = results_ARMA
init_bic = bic
return init_bic, init_p, init_q, init_properModel
这个函数的原理是，根据设定的maxLag，通过循环输入p和q值，选出拟合后BIC最小的p、q值。
然而在statsmodels包里还有更直接的函数：
import statsmodels.tsa.stattools as st
order = st.arma_order_select_ic(timeseries,max_ar=5,max_ma=5,ic=['aic', 'bic', 'hqic'])
order.bic_min_order
timeseries是待输入的时间序列，是pandas.Series类型，max_ar、max_ma是p、q值的最大备选值。order.bic_min_order返回以BIC准则确定的阶数，是一个tuple类型
6.拟合ARAM
from statsmodels.tsa.arima_model import ARMA
model = ARMA(timeseries, order=order.bic_min_order)
result_arma = model.fit(disp=-1, method='css')
ARMA函数详细说明参见statsmodels.tsa.arima_model.ARMA，.fit参见statsmodels.tsa.arima_model.ARMA.fit
对于差分后的时间序列，运用于ARMA时该模型就被称为ARMIA，在代码层面改写为model = ARIMA(timeseries, order=(p,d,q))，但是实际上，用差分过的序列直接进行ARMA建模更方便，之后添加一步还原的操作即可。
7.预测的y值还原
从前可知，放入模型进行拟合的数据是经过对数或（和）差分处理的数据，因而拟合得到的预测y值要经过差分和对数还原才可与原观测值比较。
暂时写了对数处理过的还原：
def predict_recover(ts):
ts = np.exp(ts)
return ts
8.判定拟合优度
在我学习计量经济学的时候，判断一个模型拟合效果是用一个调整R方的指标，但是似乎在机器学习领域，回归时常用RMSE(Root Mean Squared Error，均方根误差)，可能是因为调整R方衡量的预测值与均值之间的差距，而RMSE衡量的是每个预测值与实际值的差距。《均方根值（RMS）+ 均方根误差（RMSE）+标准差（Standard Deviation）》、《（转）SSE,MSE,RMSE,R-square指标讲解》提供了详细公式。
train_predict = result_arma.predict()
train_predict = predict_recover(train_predict) #还原
RMSE = np.sqrt(((train_predict-timeseries)**2).sum()/timeseries.size)
9.预测未来的值
用statsmodel这个包来进行预测，很奇怪的是我从来没成功过，只能进行下一步（之后一天）的预测，多天的就无法做到了。可以啊，根据How to Create an ARIMA Model for Time Series Forecasting with Python，输入前100天的数据，则可以预测任意时间长度的值，只需要
predict_ts = result_arma.predict(101，110，...)predict_ts = result_arma.predict()
predict方法详细说明参见statsmodels.tsa.arima_model.ARMAResults.predict，反正我不太懂这个方法怎么使用……
还有根据How to Create an ARIMA Model for Time Series Forecasting with Python，用来预测的代码是：
for t in range(len(test)):
model = ARIMA(history, order=(5,1,0))
model_fit = model.fit(disp=0)
output = model_fit.forecast()
yhat = output[0]
predictions.append(yhat)
obs = test[t]
history.append(obs)
print('predicted=%f, expected=%f' % (yhat, obs))
然而我真的不懂，按他写forecast方法的方式，每次循环预测的都是history样本的下一个值，因而如何用这个循环来预测history样本的之后，比如十个值？如果不用循环，直接令forecast中的参数steps=为要预测的时长，我也没成功……forecast方法详细说明参见statsmodels.tsa.arima_model.ARIMAResults.forecast，
此外，Stackoverflow上的一个解答：ARMA out-of-sample prediction with statsmodels，又给了一个预测的写法。
10. 更方便的时间序列包：pyflux
好在《AR、MA及ARMA模型》提到了python的另一个包pyflux，它的文档在PyFlux 0.4.0 documentation。这个包在macOS上安装之前需要安装XCode命令行工具：
xcode-select --install
同时它的画图需要安装一个seaborn的包（如果没有Anaconda则用pip的方式。《数据可视化（三）- Seaborn简易入门》简要介绍了seaborn，它是“在matplotlib的基础上进行了更高级的API封装”。
conda install seaborn
我用这个包写了一个简略而完整的ARIMA建模：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Jan 31 14:13:58 2017
@author: 竹间为简
@published in: 简书
"""
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
import statsmodels.tsa.stattools as st
import numpy as np
import pyflux as pf
daily_payment = pd.read_csv('xxx.csv',parse_dates=[0], index_col=0)
def test_stationarity(timeseries):
dftest = adfuller(timeseries, autolag='AIC')
return dftest[1]
def best_diff(df, maxdiff = 8):
p_set = {}
for i in range(0, maxdiff):
temp = df.copy() #每次循环前，重置
if i == 0:
temp['diff'] = temp[temp.columns[1]]
else:
temp['diff'] = temp[temp.columns[1]].diff(i)
temp = temp.drop(temp.iloc[:i].index) #差分后，前几行的数据会变成nan，所以删掉
pvalue = test_stationarity(temp['diff'])
p_set[i] = pvalue
p_df = pd.DataFrame.from_dict(p_set, orient="index")
p_df.columns = ['p_value']
i = 0
while i < len(p_df):
if p_df['p_value'][i]<0.01:
bestdiff = i
break
i += 1
return bestdiff
def produce_diffed_timeseries(df, diffn):
if diffn != 0:
df['diff'] = df[df.columns[1]].apply(lambda x:float(x)).diff(diffn)
else:
df['diff'] = df[df.columns[1]].apply(lambda x:float(x))
df.dropna(inplace=True) #差分之后的nan去掉
return df
def choose_order(ts, maxar, maxma):
order = st.arma_order_select_ic(ts, maxar, maxma, ic=['aic', 'bic', 'hqic'])
return order.bic_min_order
def predict_recover(ts, df, diffn):
if diffn != 0:
ts.iloc[0] = ts.iloc[0]+df['log'][-diffn]
ts = ts.cumsum()
ts = np.exp(ts)
# ts.dropna(inplace=True)
print('还原完成')
return ts
def run_aram(df, maxar, maxma, test_size = 14):
data = df.dropna()
data['log'] = np.log(data[data.columns[0]])
# test_size = int(len(data) * 0.33)
train_size = len(data)-int(test_size)
train, test = data[:train_size], data[train_size:]
if test_stationarity(train[train.columns[1]]) < 0.01:
print('平稳，不需要差分')
else:
diffn = best_diff(train, maxdiff = 8)
train = produce_diffed_timeseries(train, diffn)
print('差分阶数为'+str(diffn)+'，已完成差分')
print('开始进行ARMA拟合')
order = choose_order(train[train.columns[2]], maxar, maxma)
print('模型的阶数为：'+str(order))
_ar = order[0]
_ma = order[1]
model = pf.ARIMA(data=train, ar=_ar, ma=_ma, target='diff', family=pf.Normal())
model.fit("MLE")
test = test['payment_times']
test_predict = model.predict(int(test_size))
test_predict = predict_recover(test_predict, train, diffn)
RMSE = np.sqrt(((np.array(test_predict)-np.array(test))**2).sum()/test.size)
print("测试集的RMSE为："+str(RMSE))
pyflux的predict函数就十分易用，model.predict(h = )就可。详细参见ARIMA的文档，画图起来也是十分方便。
Time Series Forecasting using ARIMA in Python也提供了利用pyflux进行建模的例子。
11. 调参
- 对于ARIMA来说，可调参的地方也挺多：
- 差分阶数。
- p、q的阶数。
- 模型拟合的方法：MLE、OLS等，参见Bayesian Inference和Classical Inference。
- 预测的周期、滚动预测的周期。
12. 结合卡尔曼滤波
在时间序列中存在的噪声，会干扰序列中每个点的波动，给预测造成难度，所以人们就想出一个办法来过滤这个噪声，一个有名的办法叫”卡尔曼滤波“
这个东西我还没研究……给出参考资料：
- 《卡尔曼滤波》
- 《时间序列分析补充----结合ARMA的卡尔曼滤波算法》
- 《python起步之卡尔曼滤波》
- A First Look at the Kalman Filter
其他参考读物：
在针对ARIMA以及时间序列分析话题搜寻资料时，还接触了以下资料：
- 《时间序列模型的三个重要概念》：自相关、白噪声、平稳性。
- 《时间序列分析之一：数据预处理》，讲了对数据进行平稳、正态、独立、周期、趋势项检验，以及提了一句对异常值的处理。
- 有什么好的模型可以做高精度的时间序列预测呢？提供了一些关于预测模型选择的见解。
- 时间序列建模问题，如何准确的建立时间序列模型？讨论了建立时间序列模型的流程。
- Machine Learning Strategies for Time Series Prediction
- Data transformations and forecasting models: what to use and when，顾名思义，列举了预测模型的适用范围。
- Autoregressive moving average model Wikipedia
- 《需求预测我喜欢用ARIMA模型》，通俗、形象。
- 《金融时间序列入门（二）----MA & ARMA & ARIMA》
- 《python时间序列分析之ARIMA》的贡献在于讲到了对模型的检验，然而没说清楚做检验的用处，真要了解还得去看计量经济学书籍。
- Seasonal ARIMA with Python，贡献在于讲到了seasonal difference的方法，但也没讲如何确定一个序列应该应用这种差分方法。
- How to Use and Remove Trend Information from Time Series Data in Python，如果一个时间序列带有趋势的特征，如何应对的方法。
- How to Make Predictions for Time Series Forecasting with Python，贡献在于讲了如何保存拟合好的模型，以及有新的数据加入的时候，更新预测模型。
- Jason Brownlee这个人最近写了N篇关于TimeSeries的文章……
题外话：
作者：竹间为简
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