数据结构学习笔记之红黑树

一. 定义
  红黑树和2-3树等价的，在理解了2-3树之后，再来看红黑树会比较容易理解。理解了2-3树不但对理解红黑树有帮助，还会对理解B树有帮助。

1. 2-3 树

  2-3树是最简单的B-树结构，其每个非叶节点都有两个或三个子女，而且所有叶都在统一层上。2-3树不是二叉树，其节点可拥有3个孩子，不过，2-3树与满二叉树相似。高为h的2-3树包含的节点数大于等于高度为h的满二叉树的节点数，即至少有2^h-1个节点。

  2-3树是由二节点和三节点组成的，它是一个绝对平衡的树，它的特殊性质使得无论对该树做什么操作（添加节点或者删除节点），他都能保持树的绝对平衡（类似于满二叉树）。

2-3树

  2-3树也是一种搜索树（左子节点的值小于当前节点，右节点的值大于当前节点），在添加节点时，除了根节点之外，新节点是永远不会添加到一个空的位置的，也就是二节点只能通过分裂形成，所在在添加节点时，它实际上做了以下两步。
  （1）找寻合适的位置，融合到2-3树中的节点（已存在）中。
  （2）如果融合之后使得当前节点变成一个四节点，则分裂为一颗高度为 2 的树，然后将该树的头结点与父节点融合，重复（2） 直到融合后的节点不是四节点。

添加节点的过程

2. 红黑树
     红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它具有以下五条性质：
     （1）树中的节点要么是红色要么是黑色。
     （2）根节点是黑色的。
     （3）所有的叶子都是黑色（叶子是NULL节点）。
     （4）每个红色节点的两个孩子都是黑色的（红黑树中的任意一条路径不可能存在两个相连的红色节点）。
     （5）从任意节点到每个叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

红黑树

3. 红黑树和 2-3 树的联系
     红黑树和2-3树之间实际上是等价的，联系如下：

红黑树和2-3树的联系

  知道了红黑树和2-3树之间的联系之后，我们再回过头来看红黑树的五个性质：
  （1）由于2-3 树是由2节点和3节点组成，根据上图中2节点和3节点与红黑树中节点的对应关系，我们可得出第一条性质。
  （2）对于红黑树中的根节点，其有可能是2-3树中的2节点和3节点，无论哪种表示其该节点都是黑色的，可得出第二条性质。
  （3）红黑树中的定义空节点为黑色的。
  （4）同样，红节点表示3节点左侧的节点，而2-3树的左侧节点无非连接的是2节点或者3节点，所以可以得出第四条性质。
  （5）因为2-3树是一种绝对平衡的，所以对于任意一个节点，其子节点的高度是一致的，所以经过的路径长度是一致的，由上图的转化关系可知，无论是2节点还是3节点转化成红黑树时都会有一个黑节点，所以对于红黑树中的黑节点也是绝对平衡的，所以得出第五条性质。
  红黑树是保持"黑平衡"的二叉树，严格意义来说不是平衡二叉树。

二. 基本使用
  向红黑树添加的新节点一定是红色的，因为红节点表示与父节点融合，所以当添加红节点时，树还会是平衡的。红黑树（左倾）添加节点比较复杂，包括六种情况，分别如下：
  （1）红黑树为空时，添加完节点之后，要把新添加的红节点着为黑色。
  （2）当添加的节点在黑节点的左侧时，此时相当于向 2-3 树的2节点融合新节点成为3节点，直接添加即可。

二节点左侧

  （3）当新添加的节点在黑节点的右侧时，根据2-3树的性质，红节点一定是左倾斜的，所以需要进行左旋，具体流程如下：

左旋

    private Node leftRotate(Node node){
        Node x = node.right;
        node.right = x.left;
        x.left = node;
        // 由于 x 节点要替换到原来 node 的位置，所以x的颜色要和node一致
        x.color = node.color;
        // 由于node节点要与 x 节点表示2-3 树的2节点， 所以描为红色
        node.color = Node.RED;
        return x;
    }

  （4）当新添加节点在2-3树3节点（红+黑）的右侧时（红+黑+红），会形成一个4节点，此时根据2-3树的性质要将该节点拆分为3个2节点，所以根据对应关系先将所有的节点着黑色，拆分成树之后根节点要和父节点融合，所以将根节点着红色。

颜色翻转

    private Node flipColors(Node node){
        node.color = Node.RED;

        node.left.color = Node.BLACK;
        node.right.color = Node.BLACK;
        return node;
    }

  （5）当新添加节点在3节点的左侧时，会形成（红+红+黑）的情况，所以将节点右旋，此时会转化成第四种情况（x节点：红黑红）。

红红黑

    private Node rightRotate(Node node){
        Node x = node.left;
        node.left = x.right;
        x.right = node;

        // 由于 x 节点要替换到原来 node 的位置，所以x的颜色要和node一致
        x.color = node.color;
        // 由于node要与父节点表示3节点，着红色
        node.color =  Node.RED;
        return flipColors(x);
    }

  （6）"红红黑"的第二种情况，新添加的红节点是之前红节点的右节点时，应该进行如下处理。

红红黑

  以上就为红黑树添加节点的所有可能的情况，对于这六种情况可以通过以下过程来进行自平衡的操作。实际上对于当前正在构建的节点只可能包含三种情况：红节点在当前节点的右孩子、当前节点的左孩子以及左孩子的左孩子为红节点、当前节点的左右孩子为红节点，对于第六种情况实际上在子节点的构建中已经变成了第五种情况。

总体流程

  对于其他两种情况，我们无需做任何操作，只需要在构建红黑树完成之后，手动的将红黑树的根节点着为黑色即可。
  

         private Node addNode(Node root, E e){
        // 使用e 构建子树，返回重构之后的树
        if(root == null) {
            size ++;
            return new Node(e);
        }
        // 根据 e 的值和当前值作比较，决定将 e 插入到左（右）子树中
        if(root.e.compareTo(e) < 0){
            root.right = addNode(root.right, e);
        }else if(root.e.compareTo(e) > 0){
            root.left = addNode(root.left, e);
        }

        //进行左旋
        if(isRed(root.right) && !isRed(root.left)){
            root = leftRotate(root);
        }
        //进行右旋
        if(isRed(root.left) && isRed(root.left.left)){
            root = rightRotate(root);
        }
        //颜色翻转
        if(isRed(root.left) && isRed(root.right)){
            root = flipColors(root);
        }
        // 构建完成之后，将重构之后的树返回
        return root;
    }

三. 扩展
  红黑树的删除节点、右倾红黑树（本文是左倾红黑树，也就是红节点在黑节点的左侧）、伸展树、算法导论中另一种红黑树的实现。

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