LeetCode 面试题 08.11. 硬币
文章目录
- 一、题目
- 二、C# 题解
-
- 2.1 数学解法
- 2.2 动态规划
一、题目
硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)
示例1:
输入: n = 5
输出： 2
解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1
示例2:
输入: n = 10
输出： 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
说明：
0 <= n (总金额) <= 1000000
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二、C# 题解
2.1 数学解法
使用数学方法解答，将 n 看作是 25、10、5 和 1 的组合，即 n = 25a + 10b + 5c + d。因为给定 n 后，d 由 a、b、c 决定，因此仅讨论 a、b、c 之间的关系即可。
将 a、b、c 降序排列，其关系如下所示：
-
给定 a 不动，讨论 b 和 c 的组合数。
- b 不动，c 依次递减（每次 c 减 1，少的面值加到了 d 上，即 d += 5），共 c + 1 种。
- b 减 1，则 c += 2，共 c + 3 种。
- b 减 2，则 c += 4，共 c + 5 种。
- …
- 直至 b 减为 0，此时 c + b * 2，共 c + b * 2 + 1种。
共计 (b + 1)(b + c +1) 种。
-
a 减 1，则多出 25 分，总面值为 25 + 10b + 5c。由 b、c 重新降序排列，即10b’ + 5c’ = 25 + 10b + 5c，解得 b’ = b + (5 + c) / 2，c’ = (c + 5) % 2。
public class Solution {
public int WaysToChange(int n) {
int a = n / 25, b = n % 25 / 10, c = n % 25 % 10 / 5;
return (int)Partition(a, b, c);
}
public long Partition(int a, int b, int c) {
if (a < 0) return 0;
long n = (b + 1L) * (b + c + 1L) % 1000000007; // 使用 1L 进行 long 运算防止结果溢出
return (Partition(a - 1, b + (c + 5) / 2, (c + 5) % 2) + n) % 1000000007;
}
}
- 时间：24 ms，击败 100.00% 使用 C# 的用户
- 内存：27.60 MB，击败 57.14% 使用 C# 的用户
2.2 动态规划
使用动态规划解答，记 f(i,j) 表示用前 i 种硬币构成面值 j 的种类数，因此有
f ( i , j ) = f ( i − 1 , j ) + f ( i − 1 , j − c i ) + f ( i − 1 , j − 2 ⋅ c i ) + ⋯ + f ( i − 1 , j − k ⋅ c i ) f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-c_i)+f(i-1,j-2\cdot c_i)+\cdots+f(i-1,j-k\cdot c_i) f(i,j)=f(i−1,j)+f(i−1,j−ci)+f(i−1,j−2⋅ci)+⋯+f(i−1,j−k⋅ci)
其中，c_i 表示第 i 种硬币的面值，k = j / c_i。
进行优化：
- 时间复杂度：通过上式可以看出， f ( i , j ) = f ( i − 1 , j ) + f ( i , j − c i ) f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-c_i) f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−ci)，避免了多一层的遍历
- 空间复杂度：由于上式为递推式，仅和
i、i - 1有关，类似斐波那契数列的求解，只需要一个一维数组存储数据即可，数组内容不断更新 1 、 2 、 ⋯ 、 i 1、2、\cdots、i 1、2、⋯、i 对应的值。
事实上，动态规划的解法思想和数学解法很类似，即 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 c_1,c_2,c_3,c_4 c1,c2,c3,c4 对应于数学解法的 d , c , b , a d,c,b,a d,c,b,a。
public class Solution {
public int WaysToChange(int n) {
int[] coins = { 1, 5, 10, 25 };
int[] f = new int[n + 1];
f[0] = 1;
for (int i = 0; i < 4; i++)
for (int j = coins[i]; j < n + 1; j++) {
f[j] += f[j - coins[i]];
f[j] %= 1000000007;
}
return f[n];
}
}
说明：f[j] += f[j - coins[i]] 为化简写法，即 f[j] = f[j] + f[j - coins[i]]，对应于 f ( i , j ) = f ( i − 1 , j ) + f ( i , j − c i ) f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-c_i) f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−ci)。
- 时间：44 ms，击败 42.86% 使用 C# 的用户
- 内存：29.33 MB，击败 28.57% 使用 C# 的用户
动态规划的方法没有数学解法快，这里的解释是：
- 动态规划为通解。即，coins 可以换成任意其他数组，更具有普遍性。
- 数学方法为特例。即，利用了 1、5、10、25 之间的数学关系（b 减 1，c += 2），相当于对特例进行特殊优化。