数据结构与算法4（各种二叉树）

二叉树

  是一种常用的数据结构，处理起来比较简单方便，而且普通树可以很方便地转换成二叉树使用。

  定义：节点度最多为2

    二叉树是n个有限元素的集合，该集合或者为空、或者由一个称为根（root）的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成，是有序树。

二叉树的性质

  性质1二叉树的第i层上至多有2^(i-1)（i≥1）个节点。

  满二叉树：每层的节点数都是2^(i-1)

  完全二叉树：

    1、深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，称为完全二叉树。

    2、除了最后一层外，其余每一层都是满的，最后一层的节点必须从左到右分布，就是完全二叉树

    3、如果所有的节点都满足从上到下、从左到右分布，就是完全二叉树

  性质2深度为h的二叉树中至多含有2^h-1个节点 。

  性质3若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。

  性质4具有n个节点的完全二叉树深为log2x+1（其中x表示不大于n的最大整数）。

  性质5若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点：

    当i=1时，该节点为根，它无双亲节点。

    当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2。

    若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点。

    若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点。

二叉树的操作

​  构建、销毁、遍历、高度、密度、插入、删除、求左、求右、求根

二叉树的存储

  顺序：必须按照完全二叉树的格式进行存储，如果有空位置使用特殊数据代替

    数据项：

    存储节点的首地址

    容量

二叉树的遍历

  前序：根 左 右

  中序：左 根 右

  后序：左 右 根

  注意：前中后由根节点决定，并且左右子树的次序不能改变

  注意：根据前序+中序 或者 后序+中序 可以还原出一棵树，但是前序+后序是无法还原的

​  层序遍历：从上到下，从左到右来遍历一棵树，必须配合队列时使用

二叉树的存储

​  顺序：必须按照完全二叉树的格式存储节点，空位置使用特殊数据替代

​  ​  数据项：

​  ​  存储节点的内存首地址

​  ​  容量

​  注意：通过编号的关系来找到双亲、孩子节点

​  链式：由一个个节点组成，通过左右子树指针指向自己的左右子树

​  ​  节点数据项：

​  ​  数据

​  ​  左子树指针

​  ​  右子树指针

有序二叉树

（二叉排序树、二叉查找树、二叉搜索树）

​  左子树的数据小于根，右子树大于等于根，这种树叫做有序二叉树

​  注意：由于有序二叉树的节点需要频繁地插入删除，因此不适合采用顺序存储

​​  有序二叉树的中序遍历，一定是从小到大，所以有序二叉树也是一种排序算法，它的查找天然又是二分查找，所以经常考。

二叉树的常考的笔试面试题

​  1、把一颗二叉树转换为它的镜像树

​  2、输入两棵二叉树A、B，判断B是不是A的子结构（我们约定空树不是任意一棵树的子结构）

​​  3、计算出有序二叉树中倒数第K大的数

​  4、判断一颗二叉树是否是对称的

​​  5、将一块有序二叉树转换为一个有序的双向循环链表

​  6、通过一个函数，把一棵二叉树按照之字形打印，即第一层从左往右打印，第二层从右往左打印，第三层又从左往右打印，一次类推。【使用两个栈】

线索二叉树

​  规律：在有n个节点的链式二叉树中，必定有n+1个空指针域

​  链式二叉树中有很多的空指针，可以让这些指针的一部分指向下一个节点，这样遍历树时可以不用递归而是使用循环，提高树的遍历速度

​​  中序线索二叉树：

​  ​  节点数据项：

​  ​  数据

​  ​  左子树指针

​  ​  右子树指针

​  ​  右子树指针标志（真表示指向的是下一个节点，假表示指向的就是右子树）

​  实现过程：

​  ​  1、创建线索

​  ​  2、按照线索进行遍历

​  注意：线索二叉树的主要目的是为了提高树的遍历速度

选择树

（胜者树、败者树）

​  是一棵完全二叉树，把待比较的数据存储在最后一层，根节点是左右子树中的一个，是它们的最大或最小的作为根，选择树的功能是能够方便地找出树中的最大值或者最小值。

堆

​​  是一种完全二叉树：不适合链式存储

​  大顶堆（大根堆）：根节点比左右子树大

​  小顶堆（小根堆）：根节点比左右子树小

​  数据项：

​  ​  存储数据的内存首地址

​  ​  容量

​  ​  数量

​  运算：

​  ​  创建、添加、删除、空堆、满堆、堆顶

​  使用堆可以实现优先队列

平衡二叉树

​  前提是有序的二叉树，它的左右子树的高度差不超过1,而且所有它的所有子树也要满足这个条件。

​  如果一棵有序二叉树呈单支状(接近单支状)，它的查找效率接近链表，因此如果让他达到平衡的状态，它的效率才最高
​  由于节点的位置是受值得影响，因此只能进行调整，而不能强行修改
​

​  二叉树不平衡的基础原因：

          x                                        y
         / \                                      / \
        y  t1          以y为轴向右旋转            z   x
       / \                                     / \   / \
      z  t2                                   t3 t4 t2 t1
     / \
    t3 t4  


          x                                        y
       	 / \                      				  / \
        t1  y           以y为轴向左旋转           x   z
           / \                                 / \   / \
          t2  z                               t1 t2 t3 t4
             / \
            t3  t4


          x                    x                   z
         / \                  / \                 / \
        y  t1                z   t1              y   x
       / \                  / \                / \   / \
      t2  z                y   t4             t2 t3 t4 t1
         / \              / \
        t3 t4            t2  t3 
	以z为轴向左旋转        以z为轴向右旋转         最终达到平衡

          x                    x                   z
         / \                  / \                 / \
        t1  y                t1  z               x   y
           / \                  / \            / \   / \
          z   t2               t3  y          t1 t3 t4 t2
         / \                       / \
        t3  t4                    t4 t2
	以z为轴向右旋转		  以z为轴向左旋转		 最终达到平衡

红黑树

​  也是一种自平衡的有序二叉树，它不是根据子树的高度差来调整平衡的，而是给每个节点设置红或黑两种颜色，以此达到平衡。

​  优点：插入、删除的效率要比AVL树要高

​  缺点：没有AVL树均匀，查找效率没有AVL树高