【模板】欧拉函数的线性筛法

Idea I d e a

要讲欧拉筛，就要先了解欧拉函数 。

该算法可以在 O(n) O ( n ) 时间内求出 1 1 到 n n 的所有书的 ϕ ϕ 值，在使用时需要用到以下三个性质：

• ϕ(p)=p−1 ϕ ( p ) = p − 1 ， p p 是素数.
• ϕ(p∗i)=p∗ϕ(i) ϕ ( p ∗ i ) = p ∗ ϕ ( i ) ， p p 是素数且 imodp=0 i mod p = 0 .
• ϕ(p∗i)=(p−1)∗ϕ(i) ϕ ( p ∗ i ) = ( p − 1 ) ∗ ϕ ( i ) , p p 是素数且 imodp≠0 i mod p ≠ 0 .

这三条性质应该比较简单，这里我就不证明了。

Code C o d e

void Prime(int n) {
    memset(isPrime, true, sizeof isPrime);
    phi[1] = 1; isPrime[1] = false;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            prime[++tot] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 1; j <= tot; j++) {
            int p = prime[j];
            if (i * p > n) break;
            isPrime[i * p] = false;
            phi[i * p] = (i % p == 0 ? phi[i] * p : phi[i] * (p - 1));
            if (i % p == 0) break;
        }
    }
}