线性筛（数学原理）

线性筛几年前理解过一次，有点模糊。今天重新理了一下，感觉这应该算非常容易理解的一种思路。

问题：找出一个方法，在O(n)的时间内找到1-n内所有的素数

面对这个问题我们可以先想简单的方法，然后层层递进：

方法1：首先所有合数都可以拆成一个质数和另一个非1的数的乘积，即：合数x=prime[j]*i ;其中x表述一个合数（x<=n），prime[j]表示第j个质数，i就是一个非1的数。那么现在我们可以分别遍历prime[j]和i来筛出所有的合数，就是一个双重循环。中间可以加上prime[j]*i<=n来节省时间复杂度。但应该还是O(nlogn)

ps：有人可能会注意到，这tm不是用结果来找结果吗，不急，这只是引一下思路，我们在方法1上做一些动作来优化。

方法2：总体和方法1一样，不过中间加了一个限制条件：在遍历i和prime[j]时加个判断，对于某个数i，我们只遍历到i的最小质数因子即可。即：prime[j]<=i的最小质因子。

证明：对于一个合数x，x= a^(a') * b^(b') * c^(c') * d^(d') * ... ，其中a那么对于合数x，一定有x/a>=a。因为x是合数，所以质因子数量至少为2，而x又是最小质因子，自然x/a>=a了。然后我们拿出最小质因子a对应成我们方法1中的prime[j]，i就是x/prime[j]，有prime[j]<=i。由于每个合数都会有这样一种分解。那么我们就可以使用方法2去筛出每个合数。

怎么用程序实现：有人可以发现，方法2还是用结果来找结果。但现在不一样了，我可以用之前的结果找到之后的结果，有点动态规划的感觉。具体化一点，就是说假如我已经筛出了i之前的所有质数。并且i之前我都用方法2筛了大于i的某些合数。那么对于i+1,若i+1是合数，设i+1的最小质因子为prime[j]那么必有i+1/prime[j]<=i，又因为我们用方法2更新，那么i+1一定会在之前某次被筛为合数。

时间复杂度：为什么这就是线性筛了呢？可以发现，唯一会造成非线性的地方就是内层循环，而内层循环就是用于筛合数的。那么我们只要证明每个合数都仅仅会被筛一次，整个过程不就是线性的吗？

时间复杂度证明：每个合数x的最小质因子prime[j]都是被确定的。那么x/prime[j]也是可以确定的，即i是可以被确定的，而我们把每个i都遍历了小于i的所有素数，其中一个素数就是prime[j]。可以看出只被筛过一次。换句话说，对于任意的合数x，我都能告诉你它是在哪次，而且是唯一哪次被筛出来的。

代码：

void get_prime(int n)
{
    int visited[max_n],prime[max_n];
    int m=0;
    memset(visited,0,sizeof(visited));
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!visited[i]) prime[m++]=i;
        for(int j=0;j