AtCoder ABC322G 数学 + 暴力

题意

传送门 AtCoder ABC322G Two Kinds of Base

题解

根据 $1\le X$，以及 $f(S,a)$ 关于 $a$ 的递增性，可以得到 $b<a$。此时 $S_i<\min (10,a,b)$ 简化为 $S_i<min(10,b)$。根据 $S_1\ne 0$，可以观察到 $k$ 规模为 $O(\log X)$。

先考虑 $k$ 较小的情况。当 $k=1$，由于 $0<X$ 故无解；当 $k=2$，则 $(a-b)S_1=X$，枚举 $S_1,S_2$，则 $a$ 的最小值为 $\max (S_1,S_2)+1+X/S_1$，最后根据 $a\le N$ 统计答案即可。

当 $k\ge 3$，则满足 $a^2-b^2\le X$，令 $d=a-b$，则有 $2b+d\le X/d$，可以推出满足条件的 $(a,b)$ 数目为 $O(X\log X)$。那么枚举满足 $d|X$ 的 $d$，再根据上界枚举 $b$ 即可得到所有的 $(a,b)$ 二元组。问题转化为 $a,b$ 固定后满足条件的 $S$ 数量，由于 $S_i$ 上界为 $b-1$，同时根据等比数列求和公式，可以得到 $a^k-b^k>(b-1){\sum }_{i=0}^{k-1}(a^i-b^i)$，可以推出满足条件的 $S_k,S_{k-1},\cdots ,S_2$ 至多有一种可能，按照 $k$ 从大到小依次减去 $a^k-b^k$ 的贡献，判断 $f(S,a)-f(S,b)=X$ 是否成立即可，若成立，对答案贡献为 $\min (10,b)$。总时间复杂度 $O(X{\log }^{2}X)$。

#include 
using namespace std;
constexpr int MOD = 998244353;
using ll = long long;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, x;
    cin >> n >> x;
    ll res = 0;
    for (int s1 = 1; s1 < 10; ++s1) {
        if (x % s1 > 0) {
            continue;
        }
        for (int s2 = 0; s2 < 10; ++s2) {
            int d = x / s1;
            int mn = max(s1, s2) + 1 + d;
            (res += max(0, n - mn + 1)) %= MOD;
        }
    }
    for (int d = 1; d <= x; ++d) {
        if (x % d > 0) {
            continue;
        }
        for (int b = 1, a = b + d; a <= n && (ll)a * a - (ll)b * b <= x; ++b, ++a) {
            vector<int> as, bs;
            ll aa = 1, bb = 1;
            while (aa - bb <= x) {
                as.push_back(aa);
                bs.push_back(bb);
                aa *= a, bb *= b;
            }
            int rem = x;
            for (int i = (int)bs.size() - 1; i > 0; --i) {
                int t = rem / (as[i] - bs[i]);
                if (t >= min(10, b)) {
                    break;
                }
                rem -= t * (as[i] - bs[i]);
            }
            if (rem == 0) {
                res += min(10, b);
            }
        }
    }
    res %= MOD;
    cout << res << '\n';

    return 0;
}