分治法-合并排序

1.合并排序

排序算法是对一组数进行顺序排序或者逆序排序，而合并排序就是排序算法的一种。合并排序用到了分治策略实现对元素进行排序。

合并排序的基本思想：把待排序的n个元素分解成n组，也就是每组一个元素；之后对分好的组进行两两合并（无配对的则不操作），以此类推。

以序列{8, 3, 2, 6, 7, 1, 5, 4}为例，排序过程如下：

排序过程

图片来源

合并排序又叫做2-路归并排序，是因为它每次都是两两归并。

/**
 * 合并src[left:mid] src[mid+1:right] 到dest[left:right]
 * @param src: 源数组
 * @param dest: 目的数组
 * @param left: 数组起始索引
 * @param mid: 源数组的中间索引
 * @param right: 目的数组的结束索引
*/
template
void merge(Type src[], Type dest[], int left, int mid, int right) {
	//指针
	int i = left, j = mid + 1, k = left;
	//归并
	while ((i <= mid) && (j <= right)) {
		if (src[i] <= src[j])
			dest[k++] = src[i++];
		else
			dest[k++] = src[j++];
	}
	//把剩下的数组元素拷贝到目的数组
	if (i > mid)
		for (int q = j; q <= right; q++)
			dest[k++] = src[q];
	else
		for (int q = i; q <= mid; q++)
			dest[k++] = src[q];
}

merge函数用于把src[left:mid] 和src[mid + 1: right]归并到dest的对应位置。其思路如下

1. 设置两个索引变量i和j保存当前指向的src[left:mid] 和src[mid + 1: right]的索引；
2. 每次从i 和j 所指向的src[i] src[j]中取一个小值依次放到dest的对应位置，然后这个索引加一；
3. 重复2步骤直至遍历完短数组；
4. 把剩余的值拼接到dest数组中。

/**
 * src[left:right]复制到dest[left:right]
 * @param src: 源数组
 * @param dest: 目的数组
 * @param left: 起始索引
 * @param right: 结束索引
*/
template
void copy(Type src[], Type dest[], int left, int right) {
	while (left < right) {
		dest[left] = src[left];
		left++;
	}
}

copy的作用就是数组复制。

/**
 * 用于合并排序好的相邻数组段
*/
template
void mergePass(Type x[], Type y[], int step, int n) {
	int i = 0;
	while (i <= n - 2 * step) {
		merge(x, y, i, i + step - 1, i + 2 * step - 1);
		i = i + 2 * step;
	}
	if (i + step < n)
		merge(x, y, i, i + step - 1, n - 1);
	else
		for (int j = i; j < n ; j++)
			y[j] = x[j];
}

mergePass函数主要用于合并排序好的相邻数组，

当step为1,时，此时数组被分成了n份，mergePass的while就是把上面的单个元素两两合并；

当step为2,时，则对最多为2个元素的子数组进行两两合并。

以此类推

在之后还有一个判断：i + step < n，这里举例子来说明：

比如此时进行到了第二次归并，即step = 2, 元素如下：

x = {1,2} {2, 3}, {1, 1} {4}

i = 0时，合并的是x[0: 1]和x[2:3],之后i = 0 + 2 * 2 = 4；

i = 4,时，得到i <= 7 - 2 * 2 = 3 不成立，所以不再循环。

虽然循环不成立，但是可以看到，{1, 1} {4}还是满足i + step < n的，所以这里又加了最后一个归并。

而当x = {1, 2} {2, 3} {4}，step=2的情况下则会直接进行复制。

从上面的举例可以看出，赋予step递增的值，则可以实现归并排序。

template
void mergeSort(Type a[], int n) {
	Type* temp = new Type[n];
	int step = 1;

	while (step < n) {
		//合并到数组temp
		mergePass(a, temp, step, n);
		step += step;
		//合并到数组a
		mergePass(temp, a, step, n);
		step += step;
	}
	delete[] temp;
}

在mergeSort函数中，调用mergePass来实现归并操作。

接着测试一下：

int main() {
	int a[] = {1, 4, 2, 6, 7, 5, 3};
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	//合并排序
	mergeSort(a, len);

	for (int i = 0; i < len; i++)
		cout << a[i] << " ";
	cout << endl;
	return 0;
}

2.自然合并排序

自然合并排序是上述所说的合并排序算法的一个变形。之前说过，合并排序是从一个元素开始两两归并的，而当一个组内只有一个元素时，能够保证它是排序好的。基于上面的原理，给定一个数组，一般都会存在多个长度大于1的已自然排好序的子数组段。比如对于一个数组{1, 4, 2, 6, 7, 5, 3, 2}。自然排序的子数组段为{1, 4} {2, 6, 7} {5} {3} {2}；第一次排序可以得到{1, 2, 4, 6, 7} { 3, 5} {2}；第二次排序得到{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {2} ；第三次排序则可以得到递增序列。

上面需要解决的问题就是如何保存每次的子数组段的开始和结束，因为子数组段的大小不是固定的，所以还需要一个数组去维护子数组的边界。

template
void mergeSort(Type a[], int len) {
	if (len == 0)
		return;
	//保存子数组段的索引
	vector indices(len + 1);
	indices[0] = -1;
	//indices中的真实个数
	int number = get_order(a, len, indices);
	Type* temp = new Type[len];
	number = indices.size();
	//自然归并排序
	while (number != 2) {
		int index = 0;
		for (int i = 0; i + 2 < number; i += 2) {
			merge(a, temp, indices[i] + 1, indices[i + 1], indices[i + 2]);
		}
		//回写到数组a
		for (int i = 0; i < len; i++)
			a[i] = temp[i];
		number = get_order(a, len, indices);
	}
	delete[] temp;
}

新的mergeSort函数用到了子数组段，其中维护了indices数组来存储边界，

首先可以看到indices的大小为len + 1,这是最坏情况下的indices的最大值，当数组完全逆序的时候，比如要把{5, 4, 3, 2, 1}排序成{1, 2, 3, 4, 5}时，我们可以一眼看出只需要完全翻转就可以了，不过程序则不知道，按照之前的步骤来说，以上分成了{5} {4} {3} {2} {1}共5个，再加上一开始的-1，所以最大数组长度设为了len + 1。

第一个元素为-1，主要是为了应对之后的排序。以{1, 4, 2, 6, 7, 5, 3, 2}为例子。自然排序的子数组段为{1, 4} {2, 6, 7} {5} {3} {2}；那么indices的值为{-1, 1, 4, 5, 6, 7}。那么需要a[-1 + 1: 1]和a[1 + 1, 4]进行归并，a[4 +１: 5]和a[5 + 1:6]归并...

每一次的循环都会重新获取排序好的子数组段（其实可以从之前得到的）。

/**
 * 获取数组a的自然排好序的子数组段，返回结束索引
 * @param a: 数组
 * @param len: 数组a的长度
 * @param indices: 排序好的结束索引数组 需要确保长度足够
 * @return: 返回indices真正的长度
*/
template
int get_order(Type a[], int len, vector& indices) {
	int index = 1;
	int i = 1;
	while (index < len) {
		//记录起点
		if (a[index] < a[index - 1]) {
			indices[i++] = index - 1;
		}
		index++;
	}
	indices[i++] = len - 1;
	return i;
}

根据mergeSort和get_order而得到的indices数组来说，必定存在的就是-1和最后一个元素的索引，所以当indices的实际个数为2的时候，表示排序结束。

3.测试

本测试在leetcode上执行，题目为：排序数组

普通归并排序执行：

自然归并排序执行：

可以看到，自然归并排序的执行用时要小于普通归并排序，不过内存消耗略微增加。

4.参考

• 书籍《计算机算法设计与分析 王晓东》
• 归并排序三种实现方法（递归、非递归和自然合并排序）