2021-07-13-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P93 例1）
设正整数、、为三角形三边长,,,.求这样的三角形的个数.
分析
设的角、、的对应边分别为、、.问题就是要计算有限集的阶.也就是要计算同时满足,,的三元正整数组的个数.
解
不妨设则,.
满足题设条件的三角形可分为两类:
第一类:为最大边.
令,则,.
这样的三角形有个.
第二类:不为最大边.
则,,故,.
因此.
这样的三角形有个.
由加法原理,满足题设条件的三角形的个数为.
2021-07-13-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P94 例2）
集合,考察的元子集.如果子集中个元素之和可被整除,则称为是好的.试求的好子集的个数.
分析
直接计算好子集的个数是困难的.考察的全部元子集,将其按子集元素和模的剩余类分成类,直觉告诉我们,每一类子集的个数似乎是相同的.果真是这样的吗?
解
我们来考察的全部元子集,这样的子集共有个,它们构成集合.
设,其元素和被除的余数为,即.
只有个可能值:.我们将所有值相同的的元素(的元子集)归为一类,得到的个子集和.
显然是的一个分划,其中的元素就是的好子集.
由于,所以当时,即当时,就有.
故知,,这里当时,将理解为.这种与间的对应是一一的.
所以有,
于是.
2021-07-13-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P96 例3）
设集合,是的子集,且的元素或是的倍数,或是的倍数.试求的元素个数的最大值.
解
设,,则.
显然有
,
,
.
所以.
所以的元素个数的最大值为.
2021-07-13-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P96 例4）
设是平面上由个点组成的点集,其中任三点不共线,又设自然数满足不等式.如果中的每个点都至少与中的个点有线段相连,证明:这些线段中一定有三条线段构成三角形的三边.
证明
因为,所以,即每个点都至少与中个点有段相连.
不妨设为中点连成的线段.令
,
.
由于中任一点至少引出条线段,所以有,.
又由于中不含、,所以有.
因此.
所以,即存在点,且.
显然线段、、构成三角形的三边.
2021-07-13-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P97 例5）
设是有理数的集合,其中,且有循环小数的展开形式为,、、不一定相异.在的元素中,能写成最简分数的不同的分子有多少个?
因为,又,故如果既不能被整除也能被整除,则分数就是最简形式.设,.
易知,,.
由定理2,有.
即此类最简分数的不同分子有个.
此外,还有形如的数,其中自然数是小于的的倍数,这样的有共个.
故满足条件的分子有个.