高中奥数 2021-07-13

2021-07-13-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P93 例1）

设正整数、、为三角形三边长,,,.求这样的三角形的个数.

分析

设的角、、的对应边分别为、、.问题就是要计算有限集的阶.也就是要计算同时满足,,的三元正整数组的个数.

解

不妨设则,.

满足题设条件的三角形可分为两类:

第一类:为最大边.

令,则,.

这样的三角形有个.

第二类:不为最大边.

则,,故,.

因此.

这样的三角形有个.

由加法原理,满足题设条件的三角形的个数为.

2021-07-13-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P94 例2）

集合,考察的元子集.如果子集中个元素之和可被整除,则称为是好的.试求的好子集的个数.

分析

直接计算好子集的个数是困难的.考察的全部元子集,将其按子集元素和模的剩余类分成类,直觉告诉我们,每一类子集的个数似乎是相同的.果真是这样的吗?

解

我们来考察的全部元子集,这样的子集共有个,它们构成集合.

设,其元素和被除的余数为,即.

只有个可能值:.我们将所有值相同的的元素(的元子集)归为一类,得到的个子集和.

显然是的一个分划,其中的元素就是的好子集.

由于,所以当时,即当时,就有.

故知,,这里当时,将理解为.这种与间的对应是一一的.

所以有,

于是.

2021-07-13-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P96 例3）

设集合,是的子集,且的元素或是的倍数,或是的倍数.试求的元素个数的最大值.

解

设,,则.

显然有

,

,

.

所以.

所以的元素个数的最大值为.

2021-07-13-04

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P96 例4）

设是平面上由个点组成的点集,其中任三点不共线,又设自然数满足不等式.如果中的每个点都至少与中的个点有线段相连,证明:这些线段中一定有三条线段构成三角形的三边.

证明

因为,所以,即每个点都至少与中个点有段相连.

不妨设为中点连成的线段.令

,

.

由于中任一点至少引出条线段,所以有,.

又由于中不含、,所以有.

因此.

所以,即存在点,且.

显然线段、、构成三角形的三边.

2021-07-13-05

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P97 例5）

设是有理数的集合,其中,且有循环小数的展开形式为,、、不一定相异.在的元素中,能写成最简分数的不同的分子有多少个?

因为,又,故如果既不能被整除也能被整除,则分数就是最简形式.设,.

易知,,.

由定理2,有.

即此类最简分数的不同分子有个.

此外,还有形如的数,其中自然数是小于的的倍数,这样的有共个.

故满足条件的分子有个.