树的直径 证明 算法导论

树的直径的定义：

树中任意两点距离的最大值

 

树的直径的求法：

从树的任意一点y，通过BFS到达终点x；则x必为直径的一个端点。再从x通过BFS到达终点z。z必为直径的另一个端点。则从x经过BFS到z的路径为树的其中一条直径。

 

证明：

 

思路：

首先利用反证法证明x为直径的一个端点，则同理z也是直径的一个端点，从而xz为树的直径。

 

证：

反证法。

假设x不为直径的一个端点。

则对于直径uv，u与v与x互异，且dis(u, v) > dis(x, z)

1. 若x在uv上：

记dis(x, y)为树中x到y的距离。由树的性质知，树的任意两点间有且仅有一条路径。则此路径既为x与y之间的最短路径，又是x与y之间的最长路径。因此，y到v之间必存在y先到达x再从x到达v的路径。

即：dis(y, x) < dis(y, x) + dis(x, v) 这与通过点y经过BFS得到x矛盾！

 

2.若x不在uv上：

分类讨论从y到x的路径是否与直径uv相交：

2.1 相交：

记与直径uv的交点为h，则有dis(u, v) = dis(u, h) + dis(h, v)
由于从y点BFS得到终点x，故而对于树上任意一点p，dis(y, x) >= dis(y, p)=>dis(y, x) >= dis(y, v) (*)

代入dis(y, x) = dis(y, h) + dis(h, x), dis(y, v) = dis(y, h) + dis(h, v) 于(*)式，

则dis(h, x) >= dis(h, v)=>dis(u, h)  + dis(h, x) >= dis(u, h) + dis(h, v)=>dis(u, x) >= dis(u, v)

而由于z为从点x通过BFS得到的最远点，故而= dis(x, z) >= dis(u, x) >= dis(u, v) => dis(x, z) >= dis(u, v)

与假设dis(u, v) > dis(x, z)矛盾！

 

2.2 不相交：

对于直径uv，u到v的路径上必存在点h，使得dis(u, h) = 1

由树的定义知，y到h必然存在一条路径，且dis(x, h) = dis(x, y) + dis(y, h) >= 2

则dis(x, v) = dis(x, h) + dis(h, v) >= 2 + dis(h, v) > 1 + dis(h, v) = dis(u, h) + dis(h, v) = dis(u, v) 这与uv是直径矛盾！

 

综上所述，假设不成立，故x为直径的一个端点。

同理，从x经过BFS必然得到直径的另一个端点。

故而xz为树的其中一条直径。证毕。