考试范围
力学（30%）
热学（20%）
电磁学（50%）
NJUPT《大学物理上》真题及答案
质点运动学
- 第一节 质点运动
1）质点轨道方程：y = f(x)
2）位移是矢量，路程是标量，加速度是矢量
3）质点运动方程（ r，i，j，k为矢量 ）
r = x( t )i + y( t )j + z( t )k
例：r = 2t* i + (2- t^2)* j
① 求 t=1s 到2s的位移 Δr 和平均速度 v‘
r1 = 2i + j，r2 = 4i - 2j
Δr = 2i - 3j，v’ = Δr/Δt = 2i - 3j
② 求 t=2s时的加速度 a2
v = dr/dt = 2i - 2t j
a = dv/dt = -2j，a2 = -2j
4）加速度 a = dv/dt，所以 ∫a dt = ∫ dv，进而求得 v
速度 v = dx/dt，所以 ∫v dt = ∫ dx，进而求得 x
5）平均速度 v' = lim(Δr->0) Δr/Δt
其中 r 是位置矢量，Δr 是位移矢量
6）曲线运动，加速度一定不为零
7）某一瞬间，r(x, y)的速率：| v | = √ (dx / dt)^2 + (dy / dt)^2
- 第二节 圆周运动
1）圆周运动
① a = an + at = x* en + y* et
（加速度 = 向心加速度 + 切向加速度）
② an = v²/R
③ | a | = √ an^2 + at^2
2）匀加速圆周运动：加速度大小不变，方向时刻变化
w² - w₀² = 2β (θ - θ0)
w 为角速度，θ 为角度，β 为切向加速度
3）抛体运动：加速度大小不变，方向不变
- 第三节 相对运动
如图，V(A) = 10m/s，V(B) = 10√3m/s，A方向：水平向右，B方向：竖直向下
则 B 相对于 A 的速度大小：20m/s，方向：偏离竖直向下30°
牛顿定律
1）① 牛顿第一运动定律
孤立质点保持静止或做匀速直线运动
② 牛顿第二运动定律
F = m* a（F，a为矢量）
③ 牛顿第三运动定律
相互作用的两个物体，作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上
2）两个弹簧筋度系数为k₁、k2，求串联后筋度系数
L = L₁ + L₂ = F/k₁ + F/k₂
k = F/L = k₁*k₂ / (k₁ + k₂)
动量守恒，能量守恒
- 第一节 动量定理，动量守恒
1）冲量：I = ∫(0->t) F(t) dt
2）动量守恒：m₁v₁ + m₂v₂ = m₁'v₁' + m₂'v₂'
3）动量守恒条件：
① 系统不受外力 / 矢量和为0，系统动量守恒
② 某方向上不受外力 / 矢量和为0，此方向动量守恒
4）船与人问题：
船质量 M，船长度 L，人质量 m
人从船头走到船尾，因为 MV = mv
所以 ∫MV dt = ∫mv dt，所以 Mx₁ = mx₂
而 x₁ + x₂ = L，所以 x₁ = Lm / (M+m)，x₂ = LM / (M+m)
5）如图，已知：θ₁ = π/4，θ₂ = π，va，vb，m
冲量：I = m(vb* cosθ₂i + vb* sinθ₂j) - m(va* cosθ₁i + va* sinθ₁j)
- 第二节 功和能，动能定理
1）保守力只与初末位置有关（重力）
非保守力与路径有关（摩擦力）
2）作用力和反作用力的特殊例子：两同性带电球
因为当两球靠近时，两者做功的代数和不为0
3）弹簧原长 x₀，求从 x₁ 伸长到 x₂ 做的功
W = - ∫(x₁-x₀ -> x₂-x₀) kxdx
4）用同样的力敲两次木板钉，第一次深入1cm，第二次深入多少？
W₁ = ∫ (0->1) kxdx = k/2
W₂ = ∫ (1->x) kxdx = kx²/2 - k/2
由 W1 = W2 得 x = √2，所以第二次深入：(√2 - 1) cm
- 第三节 碰撞，能量守恒
1）机械能守恒：
动能和势能相互转化，但总机械能保持不变
2）机械能守恒条件：
表述① 系统只有重力或弹力做功
表述② 系统不受外力，且内力为保守力
注：不受外力 ≠ 合外力为 0 ≠ 外力做功为 0，重力和弹力是保守力
刚体的转动
- 第一节 刚体定轴转动，转动定律
1）合力为 0，合力矩不一定为 0
合力矩为 0，合力不一定为 0
2）两力垂直于转轴，合力矩不一定为 0
两力穿过转轴，合力矩一定为 0
两力平行于转轴，合力矩一定为 0
3）合力和角加速度无关
合力矩和角加速度有关
公式：M = J α ，J = mR²，M = Fd
M 是合力矩，α 是角加速度，J 是转动惯量
4）已知 M = -kw，J，求角速度从 w₀ 减至一半所需时间
因为 M = Jα，所以 -kw = J dw/dt
则 ∫(w₀ -> w₀/2) J/wdw = ∫(₀ -> t) -kdt ，进而求得 t
5）α = a R（切向加速度 = 角速度 * 半径）
- 第二节 角动量守恒
1）转动惯量
细杆（一端）：J = 1/3 mL²
细杆（中心）：J = 1/12 mL²
圆环（圆筒）：J = mR²
圆盘（圆柱）：J = 1/2 mR²
球壳（中心）：J = 2/3 mR²
球体（中心）：J = 2/5 mR²
2）角动量守恒：
mr₁v₁ + J₁w₁ = mr₂v₂ + J₂w₂
r 是中心距离，v 是速度，J 是转动惯量，w 是角速度
3）角动量守恒条件：
不受外力 / 合力矩 M = 0
4）卫星运动，M = 0，角动量守恒
5）人在圆盘上匀速走一圈：
mRv₁ + Jw₂ = 0，w = w₁ - w₂ = v₁/R - w₂，t = ₂π/w
m 是人质量，R 是半径，t 是所需时间
- 第三节 力矩做功，动能定理
1）刚体定轴转动的动能定理：W合外力 = Δ转动动能
2）① 如图，W重力 = Δ转动动能（重力势能 --> 转动动能）
mg* 1/2 Lcosθ = 1/2 Jw²② 圆盘转动， Δ转动动能 = W摩擦力（转动动能 --> 内能）
3）半径 R，质量 m，摩擦系数 μ，求转动时 f 的力矩
dm = (m/πr²) * 2πrdr
Mf = ∫ rμgdm = ∫(0->R) rμg(m/πr²) * 2πrdr
气体动理论
① 温度 T 是分子平均平动动能的体现（Ei = 3/2 kT）
② R = NA k，R 是气体常数，k 是玻尔兹曼常数
③ 内能：E = n i/2 RT
动能：Ek = n i/2 kT
平动动能：Ei = n 3/2 kT
平均内能：E = i/2 RT
平均动能：Ek = i/2 kT
平均平动动能：Ei = 3/2 kT
④ 平均速率：V' = √8kT/πm = √8RT/πM
最概然速率：Vp = √2kT/m = √2RT/M
方均根速率：Vrms = √3kT/m = √3RT/M
⑤ ( V' 指平均速率，d 指分子直径，n 指分子量 )
平均碰撞频率：z = √2πd²Vn = √2πd²VP / kT
平均自由程：λ = V/z = 1/√2πd²n = kT / √2πd²P
⑥ 气体分子数密度相等，压强相等
气体分子密度相等，温度相等，则压强相等
证明：PV= nRT= m/M RT，所以 P = ρ/M RT
⑦ 麦克斯韦速率分布函数：f(v) = dNv / N
分子质量 m，温度 T 影响曲线的高低宽窄
热力学基础
①等压膨胀，对外做功和吸收热量之比
W/Q = (Cp - Cv) / Cp = 2/7
②热机：Q₁ = Q₂ +W（吸热 = 放热 + 对外做功）
循环效率：η = W/Q₁ = 1 - Q₂/Q₁
卡诺循环：η = W/Q₁ = 1 - T₂/T₁
奥托循环：η = W/Q₁ = 1 - (V₁/V₂) ^1-γ
a. 卡诺机制冷系数比同条件其他制冷机大
b. 绝对零度达不到的原因：T₂ = 0 时，W -> ∞
③ 功可以完全转为热量，热量不可以完全转为功
④ 热量可以从低温物体进入高温物体，
但热量从高温物体进入低温物体的过程不可逆
⑤ 可逆过程一定为准静态绝热过程，
但准静态绝热过程不一定为可逆过程
有摩擦力的过程，一定为不可逆过程
⑥ 热学第一定律：Q = ΔE +W
（Q>0 吸热，ΔE>0 内能增加，W>0 对外做功）
例：1mol 单原子分子（即 n=1, i =3)
由 PV= nRT 得：ΔE = n 3/2 RT = 3/2 ΔPΔV
W = 1/2 ΔPΔV（P - V 图的面积）
⑦（n 为气体分子量，Cv 为热容量，ΔT 为温度变化）
等压过程：ΔE = nCvΔT
Q = nCpΔT = n(Cv+R)ΔT，则 W = nRΔT
等容过程：ΔE = nCvΔT，W = 0，则 Q = nCvΔT
绝热过程：ΔE = nCvΔT，Q = 0，则 W = -nCvΔT
⑧准静态绝热过程（C为常量）
γ 为定压热容和定容热容之比，γ = Cp/Cv = (i+2)/i
PV^γ = C，V^(1-γ)/ T = C，P^γ-1/ T^γ = C，且 PV/T = C
⑨热学第二定律
克劳修斯表述：热传递不可逆
开尔文表述：自然界的功热转换不可逆
⑩ΔE = n i/2 RΔT = i/2 ΔPΔV
等温时：W = nRT ln(V₂/V₁)
静电场
- 第一节 库仑定律，电场强度
1）场强公式
① 点电荷：E = Q / 4πε₀r²
② 平板：E = σ / 2ε₀
③ 直线：E = λ / 2πε₀r
④ 圆柱内：E = r σ/2ε₀
圆柱外：E = (R²/r) σ/2ε₀
⑤ 球壳内：E = ₀
球壳外：E = Q / 4πε₀r²
⑥ 球体内：E = (r/R³) Q/4πε₀
球体外：E = Q / 4πε₀r²
ε₀ 是真空介电常数，ε₀ = 8.85 * 10^-12
σ 是电荷面密度，λ 是电荷线密度，Q 是电荷量，R 是球半径
2）库伦定律：F = kQ1Q2 / r²
真空中两点电荷的相互作用力，与电荷乘积成正比，与距离的二次方成反比
3）平板电容器：
U = Ed，Q = CU，W = 1/2 CU² = 1/2 QU = 1/2 Q²/C
真空：C = ε₀S / d，E = σ / ε0
W = 1/2 ε₀SdE²
介质：C = εr ε₀S / d，E = σ / ε₀εr
W = 1/2 ε₀εrSdE²
- 第二节 电通量，高斯定律
1） 高斯定律：穿过封闭曲面（高斯面）的电通量，与其所包围的电荷量成正比
① 真空：∮E dS= 1/ε0* ∑q
E 指电场强度，∑q 指高斯面内的自由电荷
② 电介质：∮D dS= ∑q
D 指电位移，∑q 指高斯面内的自由电荷，极化电荷
2）若高斯面内各点场强为0，则高斯面内的电荷代数和一定为0
若高斯面内的电荷代数和为0，则高斯面内各点场强不一定为0
3）电通量：电场的通量，它与穿过一个曲面的电场线数目成正比
① 均匀磁场：Φ = E* S⊥ = E* S* cosθ
② 点电荷：Φ = E* S球
③ 通电直线：Φ = E* S圆柱
对于闭合的曲面，电场线穿出时Φ为正，电场线穿入时Φ为负
- 第三节 电势，电势能
1）电势叠加原理：各电荷对某一点的电势代数和
场强叠加原理：各电荷对某一点的场强矢量和
2）电势计算：Va = ∫(r->∞)E dr
3）电势能变化量：ΔEp = q*(Vb - Va)
4）电场力做的功：W = -ΔEp
- 第四节 导体 (1)
1）正电荷 M 靠近接地导体 N，导体靠近M一侧为负，远离M一侧因接地中和
2）带电体在导体内会产生电场
3）静电平衡的导体：
① 所有电荷在导体内产生电场的矢量和为0
② 等势体，表面是等势面，体内电势等于表面电势
③ 表面与电场线垂直
4）电场 E0 从左往右穿过导体板
左侧场强：E0 - σ / 2ε0，右侧场强：E0 + σ / 2ε0
- 第五节 导体 (2)
1）点电荷在导体球内（偏离球心）
内球面电荷分布不均匀，外球面电荷分布均匀
2）若导体上a，b两点电荷面密度： σ1>σ2，则曲率 ：a>b
- 第六节 电介质
1）电介质中的高斯定律
∮D dS= ∑q，其中 D = ε* E = ε0* εr* E
ε 是绝对介电常数，ε0 是真空介电常数，εr 是相对介电常数
① 导体球外充满 εr 的电介质，已知场强 E，求电荷面密度 σ
ε0* εr* E* S = Q，则 σ = Q/S = ε0* εr* E
② 如图，高斯定律成立。但电介质分布不均匀，求不出各点场强
2）各向同性电介质中，电极化强度
P = ε0* x0* E = ε0* (εr -1)* E
电场强度 E是自由电荷，束缚电荷共同产生的
3）若电容器间为真空时，E0，D0
则电容器间为 εr 的各向同性电介质时，E = E0，D = εr* D0
4）电容器间的场强 E，与插入的金属板及其位置无关
5）如图，E0 = σB/2ε0εr - σA/2ε0εr
E0/3 = σB/2ε0εr + σA/2ε0εr，进而求出 σA，σB
- 第七节 电容，能量
1）电容 C = ε0*S/4π *k *d = Q/U
2）电容充电不断开，U不变
电容充电后断开，Q不变
3）导体两端施加电压超过耐压值会被击穿
稳恒磁场
- 第一节 磁感应强度，毕奥 - 萨伐尔定律
1）磁感应强度大小
毕奥 - 萨伐尔定律
① 直导线：B = u₀* I/ 2π* r
② 圆筒内：B = 0
圆筒外：B = u₀* I/ 2π* r
③ 圆柱内：B = u₀* I* r/ 2π* R^2
圆筒外：B = u₀* I/ 2π* r
④ 线圈：B = (N* u₀* I)* R^2/ 2*(R^2 + r^2) ^3/2
⑤ 直线管内：B= u₀ * n * I
直线管外：B =0
⑥ 环形线管内：B= u₀ * n * I
环形线管外：B =0
u₀是真空磁导率，u₀ = 4π * 10^-7
r 为距离，N 为匝数，R 为半径，n * I为单位长度电流，I = Q/t
2） 磁感应强度方向
右手定则：握住通电导线，大拇指方向为电流方向，四指方向即为磁感应强度方向
3）磁感应强度叠加原理：各通电导线对某一点的磁感应强度矢量和
- 第二节 高斯定律，安培环路定理
1）安培环路定理：∮B dl =u₀* ∑I
磁感应强度沿闭合路径的线积分，等于其包围的各个电流的代数和乘以磁导率
2） 磁场中的高斯定律：
磁力线总是闭合曲线，任何一条进入闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来
- 第三节 带电粒子，载流导线
1）带电粒子受力
洛仑兹力（垂直于 v 和 B构成的平面）
① 大小：F = |q|* v* Bsinθ，θ是v和B的夹角
② 左手定则：磁感线穿入手心，四指指向粒子运动方向，拇指方向就是正电荷受力方向
2）载流导线受力
安培力（垂直于 I 和 B构成的平面）
① 大小：F = B* I* Lsinθ，θ是 I 和B的夹角
② 左手定则：磁感线穿入手心，四指指向电流方向，拇指方向就是载流导线受力方向
3）如图，负电荷向右偏转，一段时间后电势 Ua > Ub4）同向电流相互吸引，异向电流相互排斥
如图，圆形载流导线向右运动5）磁矩
P = I* S（I 为电流，S 为线圈面积）
磁力矩
M = P* Bsinθ = B* I* Ssinθ（θ 为磁矩与磁感线的夹角）
磁力矩：通有电流的闭合线圈在磁场中，安培力产生的使线圈转动的力矩
① 当线圈平行于磁感线时
Mmax = N* B* I* S（θ = π/2）
当线圈垂直于磁感线时
Mmin = 0（θ = 0）
② 转轴与磁感线垂直时，磁力矩与转轴位置无关
6）电子沿轨道圆周运动，速度为 v，半径为r
周期 T = 2π* r/v
等效电流 I = e/T = e* v/2* π* r
圆心处的磁感应强度 B = μ0* I/2r
电子轨道磁矩 M = I* S = e* v* r/2
7）如图半导体，两侧电势差 U(AA') > 0① 粒子为正电荷，半导体是 P 型；粒子为负电荷，半导体是 N 型
因为 U(AA') > 0，所以电势A >A’
判断粒子为负电荷（负粒子与 I 运动方向相反，受力向左），所以半导体是 N 型
② U(H) = B* I/n* q* d
U(AA') = B* I/n* e* a，所以 n = B* I/U(AA')* e* a
U(H) 是两侧电势差，d 是穿过厚度，e 是单位电荷，n 是载流子浓度
- 第四节 磁介质
1）μr 是磁介质的相对磁导率
H 是磁场强度，B是磁感应强度，B = μ₀* H
μr > 1时，是顺磁质；
μr < 1时，是抗磁质；
μr >> 1时，是铁磁质
2）绝缘导线螺旋绕铁环，磁感应强度
B = μ0* μr* I* n = μ0* μr* I* N/L
u0 是真空磁导率，n是单位长度匝数，N是总匝数，L是周长
3）安培环路定理
∮H dl = ∑I，∮B dl = μ₀∑I
如图，由安培环路定理得：
①当 0< r< R1（导体）时，
2πr* H = I* r^2 / R1^2
②当 R1< r< R2（磁介质）时，
2πr* H = I，B = μ₀* H
③当 R2< r< R3（导体）时，
2πr* H = I - I* (r^2 - R2^2) / (R3^2 - R2^2)，B = μ₀* H
④当 R3< r 时，∑I = 0，H = 0，B = 0
- 第五节 电磁感应 (1)
1）电磁感应
在变化磁通量中的导体，会产生电动势
2）楞次定律
感应电流的磁场，总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化如图，直导线电流增大，线圈磁通量增大（⊙）
感应电流的磁场要阻碍其变化，电流就得为顺时针（⊕）
3）螺线管半径为 r，单位长度匝数为 n，通以交变电流 i，同轴圆形回路上
磁感应强度 B = μ₀* n* i
磁通量 Φ = B* S
感生电动势 ℰi = -dΦ / dt
4）感应电动势
E = B* L* vsinθ（θ为B, L, v两两垂直所得的角）
电磁感应现象中，闭合电路既然有感应电流，也必定有电动势
5）右手定则：磁感线穿入手心，拇指指向导线运动方向，拇指方向就是感应电流方向
6）铜环和木环在变化磁通量中，虽然电动势相等
但是铜环有感应电流，木环没有感应电流
7）计算题，导线通有交变电流
设 x 为距离导线的距离，求电通量 Φ，感生电动势 ℰi
B = (μ₀* I/2π)* (1/x)，Φ = ∫ B dS = ∫ B*h dx，ℰi = -dΦ / dt
8）如图，求电势差 Ua - UbOA 段：E1 = ∫ Bv dL = ∫ (0->1/3L) Bw0r dr，方向：O到A
OB 段：E2 = ∫ Bv dL = ∫ (0->2/3L) Bw0r dr，方向：O到B
Uab = E1 - E2 = -1/6 * w0 * L^2
- 第六节 电磁感应 (2)
1）如图，平行板电容器充电
若有环路 L1、环路 L2，则 ∮ (L1)H dl < ∮ (L2)H dl
2）① 位移电流密度：Id = ε0* dE₀/dt
dE₀/dt 是电场大小随时间变化，单位：A/m^2
3）麦克斯韦方程组
② 平行板电容充电时，Id 与E 同向；
平行板电容放电时，Id 与E 反向；
①结论：电荷一定伴随有电场
②结论：变化磁场一定伴随有电场
③结论：磁感线无头无尾