群、循环群、交换群

群

一个群（Group）是一个代数结构，它包含了一个集合以及一个在这个集合上定义的二元运算，满足以下四个主要性质。

• 封闭性：对于群中的任意两个元素 a 和 b，通过群的二元运算，它们的组合 a * b 也必须属于该群。换句话说，运算结果不会使元素离开群。

• 结合性：群中的二元运算是结合的，即对于任意元素 a、b 和 c，(a * b) * c = a * (b * c)。

• 单位元素：群中存在一个特定的元素 e，称为单位元素，它满足对于群中的任何元素 a，e * a = a * e = a。

• 逆元素：对于群中的每个元素 a，必须存在一个逆元素 a^-1，使得 a * a^-1 = a^-1 * a = e，其中 e 是单位元素。

群的阶：群中元素个数称为群G的阶，记为|G|

群内元素a的阶（有时称为周期）：使得a^k = e成立的最小正整数k为元素a的阶（其中的e为这个群的单位元素）。若k不存在，则称a的阶数为无穷大。有限群的所有元素都有有限阶（证明）。

循环群

循环群是一种特殊的群，其元素由一个生成元重复作用而生成。具体来说，如果群G中存在一个元素g可以通过重复的使用二元运算（通常是乘法或加法）生成 G 中的所有元素，则群G就是循环群，元素g称为生成元。

形式化的，设（G，·）为一个群，若存在一个元素 g ∈ G，使得 G = < g > = { g^k | k ∈ Z }，则（G，·）形成一个循环群。群G内任意一个元素所生成的群都是循环群，而且是G的子群。

例如：模8加法群，{0，1，2，3，4，5，6，7}，其中0是单位元，生成元为1，3，5，7

交换群

交换群，也被称为可交换群或阿贝尔群，是一个满足交换性质的群。交换性质意味着群中的任何两个元素在群运算下都可以交换位置，即对于所有的元素 a 和 b，a * b = b * a，其中 * 表示群运算。

经典的例子包括整数集合上的加法群（Z, +），实数集合上的加法群（R，+），以及整数集合上的乘法群（Z，*）其中 * 表示乘法。这些群都是交换群，因为它们的运算满足交换性质。