对于群的理解
群：
群是这样一个东西，可以想想一个平面，在这个平面上有很多相互嵌套的小圈圈，小圈圈中有一些元素，这些元素是通过某个计算的符号进行约束的，这些元素在这个运算的约束下不可能出圈，群就是这样根据运算来约束元素的一个个小圈圈。
子群：
什么是子群呢？对于每一个圈圈，首先会有这样的情况，就是这个圈圈可能包含（！！完全包含）更小的小圈圈，于是对于这样的小圈圈，起个名字就叫作子群，当然不是什么小圈圈都能称作子群啦，这是有要求的。
对于群的要求首先是结合律，因为这个小圈圈是大圈圈的一部分，大圈圈满足结合律，这个小圈圈自然也满足。
那么还有什么要求呢？
1． 对于群来说，必不可少的就是幺元，因此子群性质之一就是要含有幺元。
为什么群的结合律就不强调，群的幺元却要强调呢？可以这么说，结合律在确定了运算律和运算对象之后，这种性质就已经在每一个元素的身上有所体现了，不论你选取的是哪个元素，这个性质是永远不会变的。
就像是你在炎黄子孙中不论取哪一部分人，他们都是龙的传人。
结合律，这个性质不会因为元素而改变。但是幺元就不同了，幺元是需要被挑选的，在挑选小圈子的时候是一定要把幺元包含进去的。
2． 逆元
其实这一点应该不用过多强调，不论元素怎么去运算，终究是不会出圈子的，而且不止如此，每一个元素都不是单独出现的，而是和逆一起出现的，一起出现或者一起不出现，就像是一对一对男男女女一起出现。当然，幺元除外。可以这样想象，在一个聚会上（小圈圈），有很多很多男男女女，这些人都是一对一对出现的，他们围着一个小孩子。
男男女女就是一对一对的元素，而小孩子就是幺元。元素结合成为幺元，男女结合就生出了一个新的小生命。
幺元的逆就是自己就好像雌雄同体。其他的元素都是雌雄异体。不过雌雄异体的结合的产物为雌雄同体的幺元。
3.封闭
这个不用过多的说，毕竟这是一个小圈圈，在这个小圈圈中的任何运算都不能出圈。
再按照上面的例子。
以上三点就约束了一个群的子群。就是这样一个子群，众星捧月，一对一对捧着一个幺元。
变换群、置换群：
A是一个集合，
怎么理解这个事儿呢？
首先要知道，子群中的每一个元素是一个双射。每一个双射的定义域和值域都是A。也就是说从A到A的许多双射构成的封闭的，有幺元的，有逆的这么一个东西叫做所有双射的子群。
任何一个群都与某个变换群同构。
变换群和置换群的区别就是集合A元素无限还是有限，变换群可以无限，置换群必须有限。
不变子群、商群
首先有群G，然后有子群H。这是线索。
首先是左陪集和右陪集。左陪集是这样一个东西。对于任何一个元素，可以和子群做乘法，不过H是在运算的右边。做乘法的结果会把G划分成几个不相交的等价类。这就是左陪集。
而右陪集就是H是在运算符号的左边，然后将所有的元素分成几个不相交的等价类，为右陪集。
拉格朗日定理：如果H是有限群G的子群，则#H整除#G，并且#G=#H·[G:H]。
对于一个有限群，它有一个子群，这个子群中的元素一定是有限群元素的因数，而且这个子群对整个群的划分，每一个等价类中的元素个数都子群中元素个数相同。
也就是说把整个的群划分成了[G:H]个等价类，每个等价类中有#H个元素。这个性质看上去是不是很美妙呢！
于是对于H把G划分的结果来说，左右陪集的个数应该是相同的。但是两个陪集中的元素是不是相同的呢？
答案是这样的：只有元素之间是可交换的才能保证左右两个陪集划分是相同的。为什么这么说呢？对于两个元素，如果在左陪集中属于同一个等价类，他们的逆在右陪集中也属于同一个等价类。那么如果他们在右陪集中属于同一个等价类，同时他们的逆在左陪集也在同一个等价类之中，那么这个性质就很好了，但是不然。因为在定义中左陪集是a-1b=h，右陪集是ab-1=h。
aH=bH=>b-1a属于h
[a-1]R=[b-1]R=>ba-1属于h
按照左陪集的要求，这是不能保证的，什么时候可以保证呢？就是可交换的时候，可交换，就可以把逆交换到前面，然后性质就符合了，因此只有交换律成立的时候才能够保证做右陪集是相同的。
交换群的每个子群都是不变子群。
有几个推论：有限群G每个元素的阶正处G的阶。
素数阶群必为循环群。
四阶群都是交换群，而且只有两个。
好了，下面是最重要的角色：不变子群。
什么是不变子群呢？就是左陪集和右陪集是相同的。
这是个贝壳，为什么要放上这么一张图片呢？因为贝壳的形状很像是划分。划分成一片片。如果把整个的贝壳看作是G的话，那么每一片就是一个等价类。
定理：如果H是G的不变子群，那么对于任意G中的元素a，aHa等于或者属于H，aha-1属于H，那么H就是G的不变子群。怎么理解这件事情呢？
对于不变子群，不变子群将所有的元素划分为等价类，但是这个等价类已经变成了同余关系，有了更好的性质。因此就有了G根据同于关系进行划分的商集。
商集的运算在代数结构那篇文章中有涉及，在此不再说明。
e这个元素很特殊，特殊在什么地方呢？[e]R是这样一个不变子群，它有一个很特殊的性质，就是可以确定所有其他的等价类。
同态核：什么是同态核呢？实际上就是映射到幺元的原像，在线性代数中是映射到零向量。为什么同态核这么特殊呢？首先是同态核都会映射到幺元，他们都是有同样的像。根据映射的像的不同可以对原像进行同余关系的划分。划分完同余关系，自然有幺元的要占主导地位，Kerf就是G的不变子群。
群同构定理：
群第一同构定理：如果有G1到G2的群同态，根据同态可以对G1进行同于类的划分。划分的结果就是G1/Kerf，当然这个划分是根据像集的映射来划分的，因此就是同构映射。
定理：如果H，K是H的有限子群，则|HK|=|H|·|K|/|H交K|。
怎么来看待这个式子呢？
分成两部分：|H|和|K|/|H交K|。|H|就是H中的元素个数，而后面的式子就是K被划分成了多少个等价类。对于H来说，和K中等价类中的任意一个元素计算的结果是相同的，这就导致如果是每个元素相乘的话，最后结果会有大量的重复的元素。最后的结果并不仅仅是H和K的元素个数相乘得到的结果，就是因为划分了等价类之后简化了计算。
群第二同构定理：G是群且K是G子群，如果H是G不变子群，K/(H交K)同构于HK/H。
K根据相交进行的划分结果和HK/H是相同的，为什么这么说呢？HK根据H进行的划分，就是HK中大量元素通过不变子群进行划分，HK中元素是H乘K被H交K划分而来，因此HK在根据H进行划分的结果就是H分别乘上K被H交K划分结果。K/(H交K)就是K被(H交K)划分的结果。
实际上群第二同构定理就是把HK的产生过程重新说了一遍，然后去掉了许多容易理解的细节罢了。
群第三同构定理：G为群，H、K都是G的不变子群。而且K是H的子群。（多么美妙的条件啊，有一个大群G，有一个小不变子群H，H中还有一个小小不变子群K），则H/K是G/K的不变子群而且(G/K)/(H/K)同构于G/H。
为啥捏？首先我们看H/K是H被K划分，G/K是G被K划分，H/K是H被K划分成了小扇贝。G/K首先我们考虑G/H，被划分成了小扇贝，除此之外，再把每个扇片根据K划分成更细小的部分。大家感觉一下，就是扇贝的表面成了网格。对于这个网格，H/K还是处于一个比较高的地位，因为这些网格实际上都可以被H/K划分出来，读者自己划一划图形相信会有很直观的理解。
而G/K这个细碎的划分如果去掉(H/K)这个划分相当于把碎片合成条，重新变得规整，变成了扇贝的形状，就是G被H划分的结果。
扇贝是个好东西。