C++ / Python 关于 lower_bound & upper_bound 的算法实现与应用

Part.I Introduction

在很多情况下，我们要在一个有序数组中找满足一定条件的数据或索引。比如，经常会用到，『找元素值大于等于某个数的最小值的索引』（lower_bound）和『找元素值小于等于某个数的最大值的索引 + 1』（upper_bound，其实也可以说成是『找元素值大于某个数的最小值的索引』）。用图像表示如下：

下面是一些预备工作。

Chap.I 无序→有序

上面提到的是『有序数组』，但是很多情况下我们拿到的数组是无序的，所以我们首先要将数组进行排序。

C++ 排序函数：

sort(a.begin(),a.end(), cmp);

将a根据规则cmp进行升序排列，执行完成之后a就变成升序的了；当要逆序时，用rbegin()即可。

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Python 排序函数：

lst.sort(cmp=None, key=None, reverse=False)

一般不需给任何参数，换言之给个空括号即可；执行完之后lst就变成升序的了；如果要降序，只需将reverse赋值为true即可。

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C++ 中的sort()函数用的是改进的快速排序算法，时间复杂度为O(logN)；Python 中的sort()函数用的是Timsort算法， Timsort 是结合了合并排序（merge sort）和插入排序（insertion sort）而得出的排序算法，它在实际使用中有很好的效率。

Chap.II 背后原理：二分查找

实现这种功能所用到的算法是『二分查找』。关于二分查找，网上有很多大佬写的总结，笔者也整理了自己的版本，戳我！！！其中关于二分查找的模板，笔者分为了三种：

• 基础版：适用于无重复元素的数组
• 寻找左侧边界版
• 寻找右侧边界版

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口诀如下：

• 待查数组需有序，搜索区间两端闭；
• while 条件带等号，否则补丁打不及。
• if 相等便返回，其他杂事可不提；
• mid 必须加减一，因为区间两端闭。
• while 结束就GG，凄凄惨惨返-1；
• 如果元素有重复，相等返回需注意。

注：最后一句『相等』指的是『if 相等』；『返回』指的是 while 结束之后的操作。

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下面以Python 为例，自己实现这种功能。

lower_bound 实际上就是一个『寻找左侧边界版的二分查找』，其实现如下：

def lower_bound(nums, target):
    low, high = 0, len(nums) - 1
    pos = len(nums)
    while low <= high:
        mid = low + (high - low) // 2
        if nums[mid] < target:
            low = mid + 1
        else:
            high = mid - 1      # 和模版有所区别的是，这里对两种情况进行了一个合并
    return low

upper_bound 实际上就是一个『寻找右侧边界版的二分查找』，其实现如下：

def upper_bound(nums, target):
    low, high = 0, len(nums) - 1
    pos = len(nums)
    while low <= high:
        mid = low + (high - low) // 2
        if nums[mid] > target:
            high = mid - 1
        else:
            low = mid + 1       # 和模版有所区别的是，这里对两种情况进行了一个合并
    return high + 1             # 要大于才行，所以要加一

Part.II 应用示例

Chap.I C++

C++ 中已经有现成的函数，位于#include 中，其用法如下：

• auto itr = lower_bound(v.begin(), v.end(), tar);：在已排序的 v 的[begin,end)范围内查找值小于tar的元素，返回最后一个比tar小的元素的迭代器+1（第一个大于等于tar的元素的迭代器）；
• auto itr = upper_bound(v.begin(), v.end(), tar);：在已排序的 v 的[begin,end)范围内查找值小于等于tar的元素，返回第一个大于tar的迭代器。

可以看出来，返回的是一个迭代器，接着可通过下面的操作来得到我们所需：

cout << *itr << endl;	// 得到它的值
distance(v.begin(),itr)	// 得到它的索引下标，需要 #include

下面是一个简单的用法实例：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main()
{
    vector<int> v({1,2,2,2,3,6,8});
    int tar = 2;
    auto itr = lower_bound(v.begin(),v.end(),tar);
    cout << distance(v.begin(),itr) << endl;
    itr = upper_bound(v.begin(),v.end(),tar);
    cout << distance(v.begin(),itr) << endl;
    getchar();
    return 0;
}

输出：

1
4

Chap.II Python

Python 中也有现成的库函数，位于bisect中，需要导入相应的函数from bisect import bisect_right, bisect_left，其用法如下：

• bisect_left(v, tar)：在数组v中『找元素值大于等于某个数的最小值的索引』
• bisect_right(v, tar)：在数组v中『找元素值大于某个数的最小值的索引』

下面是一个简单的用法实例：

from bisect import bisect_left, bisect_right

v1=[1,2,2,2,3,6,8]
print(bisect_right(v1,2))
print(bisect_left(v1,2))

输出：

1
4