DMP(Dynamic Movement Primitives)动态运动基元算法收敛性证明
一、背景知识
DMP作为轨迹生成方法的一种，具有诸多优势，如弹簧阻尼二阶系统保证了他可以收敛到目标点，且具有良好的时间和空间上的泛化能力。最近一直在想为什么该系统可以保证运动轨迹收敛到目标点 g g g，后来看了码农家园的博客以及对照论文中的内容有了一定的理解，下面给出DMP算法详细的收敛性证明。
二、从微分方程的角度出发
利用本科阶段学到的高等数学知识，我们先求解一个微分方程：
f ˙ = a f + b (1) \begin{aligned} \dot f=af+b \\ \end{aligned}\tag{1} f˙=af+b(1)
通过高数第七章的知识，我们知道形如 y ˙ + P ( x ) y = Q ( x ) \dot y+P(x)y=Q(x) y˙+P(x)y=Q(x) 的通解为：
y = ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + c ) e − ∫ P ( x ) d x \begin{aligned} y=\left(\int Q(x) e^{\int P(x) d x} d x+c\right) e^{-\int P(x) d x} \\ \end{aligned} y=(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+c)e−∫P(x)dx
小Tip：很多人记不住这个公式，其实也不用记，只要知道去哪里查就行了，但还是说个记住这个公式的技巧吧，QP-P（扣皮掉皮，言外之意家里的墙皮，你只要扣就掉皮），Q表示Q（x），P表示P（x），因为大家记不住的是Q和P的位置。
因此，公式1中的 P ( x ) = − a P(x)=-a P(x)=−a， Q ( x ) = b Q(x)=b Q(x)=b
很容易求得公式1的解为：
f = c e a x + b a (2) \begin{aligned} f=ce^{ax}+{b \over a} \\ \end{aligned}\tag{2} f=ceax+ab(2)
这里, c c c是一个常数,我们从解中可以看到,当 a < 0 a<0 a<0时,随着时间 t t t趋向于无穷, f f f趋向于 b a b \over a ab
三、DMP收敛性证明
接下来我们看DMP的核心公式:
y ¨ = α y ( β y ( g − y ) − y ˙ ) (3) \begin{aligned} \ddot y =\alpha_{y}(\beta_{y}(g-y)-\dot y) \\ \end{aligned}\tag{3} y¨=αy(βy(g−y)−y˙)(3)
为了分析方便,我们先略去下标,并将系数乘进去,整理后得到:
y ¨ = a ( g − y ) − b y ˙ (4) \begin{aligned} \ddot y =a(g-y)-b\dot y \\ \end{aligned}\tag{4} y¨=a(g−y)−by˙(4)
设状态变量为 ( y , y ˙ ) T (y,\dot y)^{T} (y,y˙)T,写成矩阵的形式为:
( y ˙ y ¨ ) = ( 0 1 − a − b ) ⋅ ( y y ˙ ) + ( 0 a g ) (5) \begin{aligned} \left(\begin{array}{l} \dot{y} \\ \ddot{y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -a & -b \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} y \\ \dot{y} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ a g \end{array}\right) \end{aligned}\tag{5} (y˙y¨)=(0−a1−b)⋅(yy˙)+(0ag)(5)
有没有发现公式5和公式1是一样的,为了保证(5)的收敛性,我们需要(5)中系数矩阵的配置极点小于0,这可以通过选取合适的a,b值来做到.当该方程收敛时,我们类比(2)式,随着时间的推移,该方程将收敛到
− ( 0 1 − a − b ) − 1 ⋅ ( 0 a g ) = ( g 0 ) (6) \begin{aligned} -\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -a & -b \end{array}\right)^{-1} \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ a g \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} g \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned}\tag{6} −(0−a1−b)−1⋅(0ag)=(g0)(6)
也就是状态变量最后收敛到我们的目标g上,即最后到达目标点,以上的分析保证了一点:那就是采用该系统过程的DMP算法保证了最后必然会收敛到目标点.
根据论文Robot Learning System Based on Adaptive Neural Control and Dynamic Movement Primitives，这里参数a，b可以选择为25和10，此时方程5的状态矩阵的特征值为两个相同的负实根-5，根据现代控制中的知识，我们可以知道系统是稳定的