【Codeforces】 CF1864H Asterism Stream

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题目解法

考虑一个时间复杂度较劣，但好理解一些的做法

首先根据期望的线性性，把问题转化成 $\sum _{i=0}^{n-1}E(x=i)$，这一步比较常用
那么现在就考虑变成数 $i$ 的概率，下面我们令 $N=n-1$

考虑对于每次加操作考虑它的贡献，不难发现贡献一定是 $c_1{2}^0+c_2{2}^1+...+c_{L+1}{2}^L$ 的形式，其中 $c_i$ 表示在两次乘 $2$ 操作间的加操作的个数
那么现在的问题就变成了求 $c_1{2}^0+c_2{2}^1+...+c_{L+1}{2}^L\le N$ 的个数，可以发现概率为 $\frac{1}{2^{L+\sum c_i}}$
考虑 $\le N$ 的限制不优秀，所以把它转化成 $=$ 的限制，可以添加一项 $c_0$：$c_0+c_1{2}^0+c_2{2}^1+...+c_{L+1}{2}^L=N$ 的方案数（同时需要乘上 $\frac{1}{2^{\sum _{i=1}^{L+1}{c}_i}}$）的系数，注意 $c_0$ 不能算在内，因为 $c_0$ 只是为了凑齐 $N$，没有其他的实际意义
考虑把 $c_i$ 拆分成 $2$ 进制的形式，那么就可以进行数位 $dp$
令 $f_{i,j}$ 表示到第 $i$ 位进位为 $j$ 的方案数，然后枚举这一位为 $1$ 的数的个数 $k$ 就可以转移，时间复杂度 $O(lo{g}^{3}n)$
注意到我们需要预处理 $g_{i,j}$ 表示在第 $i$ 位和为 $j$ 的方案数（注意要成 $2^{-?}$ 的系数），这个直接转移即可，注意特判 $c_0$
因为对于每一个 $L$ 都需要计算，所以时间复杂度 $O(Tlo{g}^{4}n)$

#include 
#define int long long
using namespace std;
const int LIM=70,P=998244353;
int ivpw[LIM];
int f[LIM][LIM];//考虑完了前i位，当前位得到的进位为j的方案数
int g[LIM][LIM],tmp[LIM][LIM];
inline int read(){
    int FF=0,RR=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
    return FF*RR;
}
int qmi(int a,int b){
    int res=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) res=1ll*res*a%P;
        a=1ll*a*a%P;
    }
    return res;
}
inline void inc(int &x,int y){ x+=y;if(x>=P) x-=P;}
int calc(int L,int n){
    if(n<0) return 0;
    int lim=ceil(log2(n))+2;
    memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));
    for(int i=0;i<=lim;i++){
        int cnt=min(i+1,L+1);
        memset(tmp,0,sizeof(tmp));
        tmp[0][0]=1;
        for(int j=0;j<=cnt;j++) for(int k=0;k<=j;k++) if(tmp[j][k]){
            inc(tmp[j+1][k],tmp[j][k]);
            if(!j) inc(tmp[j+1][k+1],tmp[j][k]);
            else inc(tmp[j+1][k+1],tmp[j][k]*ivpw[i-j+1]%P);
        }
        for(int j=0;j<=cnt+1;j++) g[i][j]=tmp[cnt+1][j];
    }
    //c_0+c_12^0+...+c_L2^{L-1}+c_{L+1}2^L=n
    f[0][0]=1;
    for(int i=0;i<lim;i++) for(int j=0;j<LIM;j++) if(f[i][j]) for(int k=0;k<=L+2;k++){
        if(((j+k)&1)!=(n>>i&1)) continue;
        inc(f[i+1][(j+k)/2],f[i][j]*g[i][k]%P);
    }
    return f[lim][0]*qmi(qmi(2,L),P-2)%P;
}
void work(){
    int n=read(),ans=0;n--;
    for(int i=0;i<60;i++) inc(ans,calc(i,n-(1ll<<i)));
    printf("%lld\n",ans);
}
signed main(){
    ivpw[0]=qmi(2,P-2);
    for(int i=1;i<LIM;i++) ivpw[i]=ivpw[i-1]*ivpw[i-1]%P;
    int T=read();
    while(T--) work();
    fprintf(stderr,"%d ms\n",int64_t(1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC));
    return 0;
}