数据结构：二叉树（1）
目录
树的概念
树的表示形式
二叉树
二叉树的性质
题目
二叉树的存储
链式存储
初始化二叉树
二叉树的遍历
前序遍历：根左子树右子树
中序遍历：左子树根右子树
后序遍历：左子树右子树根
选择题
代码代码！
前序遍历的存储问题
树的概念
树是一种非线性的数据结构，是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合
它像是一颗倒挂的树，即根朝上，叶（结点）朝下
注意：
除了根结点外，每个节点有且只有一个父结点
一棵n个结点的树由n-1条边
结点的度：一个结点含有子树的个数，上面A的度就是6
树的度：所有结点度的最大值（max(node degree)），上面树的度就是6
叶结点/终端结点：度为0的结点，上面B,C,H,I,K,L,M,N,P,Q就是叶结点
父结点：一个结点如果有条线连着上面一个结点，那上面这个结点就是这个结点的父结点
比如：A是B的父结点
子节点：结点含有的子树的根结点，B是A的子结点
根结点：没有父结点的结点
结点层次：根是第一层，其子结点是第2层。。。。
树的高度：树结点最大层次，树高度为4
分支结点：度不为0的结点，比如：D,E,J....
兄弟结点：有相同父结点的结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟，如H,I就是堂兄弟结点
树的表示形式
孩子兄弟表达法
二叉树
一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上左子树和右子树的二叉树组成
特点：
二叉树不存在度大于2的结点，所以他的每颗子树都是二叉树
满二叉树：每层结点树都达到最大值。如果一棵二叉树的层数为k，且结点总数是2^k-1，那它就是一棵满二叉树
完全二叉树：对于深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。
满二叉树是一种特殊的完全二叉树
二叉树的性质
1.若规定的根结点层数是1，那一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点
2.规定只有根结点的二叉树深度为1，则深度为k的二叉树最大结点数是2^k -1
3.对于任意一棵二叉树，如果叶结点个数为n0，度为2的非叶结点个数为n2，则有n0 = n2+1
换句话说，叶结点(度为0)的个数总是要比度为2的结点个数多1个
如上图，叶结点的个数有6个，度为2的结点个数为5个 5+1 = 6
推导公式
等式1：假设一棵树有n个结点，度为0的有n0个，度为1的有n1个，度为2的有n2个，那么
n = n0 + n1 + n2
等式2：一棵n个结点的树有n-1条边
一般的，度为0的结点不会产生边，度为1的结点(n1个)产生n1 * 1条边，度为2的结点(n2个)产生
n2 * 2 条边
那么 n-1 = n1+2*n2
把等式1和2联立，n0+n1+n2-1 = n1 + 2 * n2 -- > n0 = n2 + 1
4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为
上取整
假设父结点下标是i，则左孩子下标为 2*i+1，右孩子下标是2*i+2
反推，如果孩子下标为i，则父结点下标是(i-1) / 2
题目
偶数个结点的完全二叉树，度为1的结点一定只有1个
而奇数个结点的，度为1的结点为0个
所以可以列个等式
2n = n0 + 1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1
所以 n0 = n 选A
二叉树的存储
分为顺序存储和链式存储
顺序存储：堆（可以看看我后面的博客），这篇博客讲链式存储
链式存储
初始化二叉树
目前的思路：
先创建结点，以穷举的方式造一棵二叉树，根据下面这张图来创建
public class BinaryTree {
static class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode root;
//创建一棵二叉树，创建成功后返回根结点
public TreeNode createTree(){
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
}测试一下
煤油问题
二叉树的遍历
遍历指的是沿着某条路线遍历
前序遍历：根左子树右子树
遇到根就打印
中序遍历：左子树根右子树
后序遍历：左子树右子树根
留一道题，请写出下图的前序，中序和后序遍历（答案在文章末尾）
选择题
首先把这个树画出来
画出来后就很简单了，答案就是A
怎么画出这棵树？
根结点就是E
注意：后序遍历是可以确定树的根的，就是最后一个字母a
那放到中序遍历中，a的左边b就是左子树，a的右边dce构成右子树
后序遍历里面，a后面的c是一个子树根，根据中序，那d和e就很自然排在c的左和右了
画出来就是这样，前序遍历就是abcde
后序遍历确定根是F，那根据中序遍历F前面的ABCDE构成左子树，没有右子树
F后面每一个元素都是前一个元素的根结点，画出来就是这样
层次输出FEDCBA
问题：如果给你前序遍历和后序遍历，可以画出一棵二叉树吗？
不可以。因为前序和后序确定的都是根
代码代码！
// 前序遍历
void preOrder(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
System.out.println(root.val + " ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}有点难理解？其实这段代码的分析过程跟我们在造树的过程差不多
（图太大了只能截一部分了...）
剩下的俩就很简单了
// 中序遍历
void inOrder(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.println(root.val + " ");
inOrder(root.right);
}
// 后序遍历
void postOrder(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.println(root.val + " ");
}前序遍历的存储问题
144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）
给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 前序 遍历。
遍历思路：遍历到是我就存储进去
class Solution {
List list = new ArrayList<>();
public List preorderTraversal(TreeNode root) {
if(root == null){
return list;
}
list.add(root.val);
preorderTraversal(root.left);
preorderTraversal(root.right);
return list;
}
} 套娃存列表思想
public List preorderTraversal(TreeNode root) {
List list = new ArrayList<>();
if(root == null){
return list;
}
list.add(root.val);
List leftTree = preorderTraversal(root.left);
list.addAll(leftTree);
List rightTree = preorderTraversal(root.right);
list.addAll(rightTree);
return list;
} 画个图解释一下（只画了左子树）
每次返回就把拼接好的列表归到父结点的列表中
图片遍历答案
前序：ABDEHCFG
中序：DBEHAFCG
后序：DHEBFGCA