数据结构:二叉树(1)

目录

树的概念

树的表示形式

二叉树

二叉树的性质

题目

二叉树的存储

链式存储

初始化二叉树

二叉树的遍历

前序遍历:根左子树右子树

 中序遍历:左子树根右子树

后序遍历:左子树右子树根

选择题

代码代码!

前序遍历的存储问题 


树的概念

树是一种非线性的数据结构,是由nn>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合

它像是一颗倒挂的树,即根朝上,叶(结点)朝下

数据结构:二叉树(1)_第1张图片

注意:

除了根结点外,每个节点有且只有一个父结点 

一棵n个结点的树由n-1条边


数据结构:二叉树(1)_第2张图片

结点的度:一个结点含有子树的个数,上面A的度就是6

树的度:所有结点度的最大值(max(node degree)),上面树的度就是6

叶结点/终端结点:度为0的结点,上面B,C,H,I,K,L,M,N,P,Q就是叶结点

父结点:一个结点如果有条线连着上面一个结点,那上面这个结点就是这个结点的父结点

比如:A是B的父结点

子节点:结点含有的子树的根结点,B是A的子结点

根结点:没有父结点的结点

结点层次:根是第一层,其子结点是第2层。。。。

树的高度:树结点最大层次,树高度为4

分支结点:度不为0的结点,比如:D,E,J....

兄弟结点:有相同父结点的结点

堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟,如H,I就是堂兄弟结点


树的表示形式

孩子兄弟表达法

数据结构:二叉树(1)_第3张图片


二叉树

一颗二叉树是结点的一个有限集合,该集合或者为空,或者是由一个根节点加上左子树和右子树的二叉树组成

特点:

二叉树不存在度大于2的结点,所以他的每颗子树都是二叉树

数据结构:二叉树(1)_第4张图片

满二叉树:每层结点树都达到最大值。如果一棵二叉树的层数为k,且结点总数是2^k-1,那它就是一棵满二叉树

数据结构:二叉树(1)_第5张图片

完全二叉树:对于深度为k,有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。

数据结构:二叉树(1)_第6张图片

满二叉树是一种特殊的完全二叉树

二叉树的性质

1.若规定的根结点层数是1,那一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点

数据结构:二叉树(1)_第7张图片

2.规定只有根结点的二叉树深度为1,则深度为k的二叉树最大结点数是2^k -1

3.对于任意一棵二叉树,如果叶结点个数为n0,度为2的非叶结点个数为n2,则有n0 = n2+1

换句话说,叶结点(度为0)的个数总是要比度为2的结点个数多1个

数据结构:二叉树(1)_第8张图片

如上图,叶结点的个数有6个,度为2的结点个数为5个 5+1 = 6

推导公式

等式1:假设一棵树有n个结点,度为0的有n0个,度为1的有n1个,度为2的有n2个,那么

n = n0 + n1 + n2

等式2:一棵n个结点的树有n-1条边

一般的,度为0的结点不会产生边,度为1的结点(n1个)产生n1 * 1条边,度为2的结点(n2个)产生

n2 * 2 条边

那么 n-1 = n1+2*n2

把等式1和2联立,n0+n1+n2-1 = n1 + 2 * n2  -- >   n0 = n2 + 1

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ,如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ,则对于 序号为 i 的结点有
i>0 双亲序号: (i-1)/2 i=0 i 为根结点编号 ,无双亲结点
2i+1 ,左孩子序号: 2i+1 ,否则无左孩子
2i+2 ,右孩子序号: 2i+2 ,否则无右孩子

数据结构:二叉树(1)_第9张图片

假设父结点下标是i,则左孩子下标为 2*i+1,右孩子下标是2*i+2

反推,如果孩子下标为i,则父结点下标是(i-1) / 2


题目

数据结构:二叉树(1)_第10张图片

偶数个结点的完全二叉树,度为1的结点一定只有1个

而奇数个结点的,度为1的结点为0个

所以可以列个等式

2n = n0 + 1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1

所以 n0 = n      选A


二叉树的存储

分为顺序存储链式存储

顺序存储:堆(可以看看我后面的博客),这篇博客讲链式存储

链式存储

数据结构:二叉树(1)_第11张图片

数据结构:二叉树(1)_第12张图片


初始化二叉树

目前的思路:

先创建结点,以穷举的方式造一棵二叉树,根据下面这张图来创建

数据结构:二叉树(1)_第13张图片

public class BinaryTree {
    static class TreeNode{
        public char val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;

        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    public TreeNode root;
    //创建一棵二叉树,创建成功后返回根结点
    public TreeNode createTree(){
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;

        return A;
    }
}

测试一下

数据结构:二叉树(1)_第14张图片

煤油问题

二叉树的遍历

遍历指的是沿着某条路线遍历

前序遍历:根左子树右子树

遇到根就打印

数据结构:二叉树(1)_第15张图片

 中序遍历:左子树根右子树

数据结构:二叉树(1)_第16张图片

后序遍历:左子树右子树根

数据结构:二叉树(1)_第17张图片

留一道题,请写出下图的前序,中序和后序遍历(答案在文章末尾)

数据结构:二叉树(1)_第18张图片

选择题

首先把这个树画出来

数据结构:二叉树(1)_第19张图片

画出来后就很简单了,答案就是A

怎么画出这棵树?

数据结构:二叉树(1)_第20张图片 根结点就是E

注意:后序遍历是可以确定树的根的,就是最后一个字母a

那放到中序遍历中,a的左边b就是左子树,a的右边dce构成右子树

后序遍历里面,a后面的c是一个子树根,根据中序,那d和e就很自然排在c的左和右了

 数据结构:二叉树(1)_第21张图片

画出来就是这样,前序遍历就是abcde

后序遍历确定根是F,那根据中序遍历F前面的ABCDE构成左子树,没有右子树

F后面每一个元素都是前一个元素的根结点,画出来就是这样

数据结构:二叉树(1)_第22张图片

层次输出FEDCBA

问题:如果给你前序遍历和后序遍历,可以画出一棵二叉树吗?

不可以。因为前序和后序确定的都是根

代码代码!

    // 前序遍历
    void preOrder(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        System.out.println(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

有点难理解?其实这段代码的分析过程跟我们在造树的过程差不多 

数据结构:二叉树(1)_第23张图片

(图太大了只能截一部分了...)

数据结构:二叉树(1)_第24张图片

剩下的俩就很简单了

    // 中序遍历
    void inOrder(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.println(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }
    // 后序遍历
    void postOrder(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.println(root.val + " ");
    }
前序遍历的存储问题 

144. 二叉树的前序遍历 - 力扣(LeetCode)

给你二叉树的根节点 root ,返回它节点值的 前序 遍历。

遍历思路:遍历到是我就存储进去

class Solution {
    List list = new ArrayList<>();
    public List preorderTraversal(TreeNode root) {
        if(root == null){
            return list;
        }
        list.add(root.val);
        preorderTraversal(root.left);
        preorderTraversal(root.right);
        return list;
    }
}

套娃存列表思想

    public List preorderTraversal(TreeNode root) {
        List list = new ArrayList<>();
        if(root == null){
            return list;
        }
        list.add(root.val);
        List leftTree = preorderTraversal(root.left);
        list.addAll(leftTree);

        List rightTree = preorderTraversal(root.right);
        list.addAll(rightTree);
        return list;
    }

画个图解释一下(只画了左子树) 

数据结构:二叉树(1)_第25张图片

每次返回就把拼接好的列表归到父结点的列表中


图片遍历答案

数据结构:二叉树(1)_第26张图片

前序:ABDEHCFG

中序:DBEHAFCG

后序:DHEBFGCA

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