2023NOIP A层联测10 (ACCODER 411)

2023NOIP A层联测10 (ACCODER 411)

2023年10月12日 / 比赛 / 信息学

代码与题面

商品打包

如果直接做需要$O(n^2)$，思考能否从上一种情况推出下一种。

如果$i$从$1$~$n$，那么每次要删掉$a[i]$，这不太好操作。我们考虑倒序操作，那么我们每次只需要加入$a[i]$即可。虽然我们加入的顺序反了，但这并不影响最终结果。

为了严谨我们尝试证明。考虑反证法，若翻转后做可以减少背包数，那么翻转之前的第一个背包（也就是翻转之后的最后一个背包）翻转后包含的物品数必定大于翻转前。然而物品序列没有改变，这样就与题目的装包策略矛盾。

集合

采用记忆化搜索，时间复杂度为$O(am)$其中$a$为最大答案。初步估计$a$可能在${\prod }_{i=1}^{10}{\log }_{p[i]}m$（$p$为质数列表）左右，$m$最大为$99991$。

实践出真知，发现答案并不大，解决这题。值得注意的是，我们必须要进行一个排序，不然记忆化会导致WA，你可以尝试集合为$4,2$的情况。

最小生成树

首先，这个图非常稠密，朴素的Kruskal算法需要$O(n^2\log n^2)$，不太优秀，并且不好优化。

基于Prime

首先我们打一个$O(n^2)$的朴素Prime，分析算法流程，我们每将一个新的节点加入连通块，都要将到$n$个数刷新，并且非常有规律可循，考虑使用线段树维护。

考虑固定$i$，$j$为新加入的节点，因为边权为$a[j]-a[i](i<j)$或$a[i]-a[j](j<i)$，其中$a[i]$为定值，那么我们需要两棵线段树分别维护区间修改$a[j]$。

同时，更新过的节点不能再更新，所以我们还要支持修改$a[i]$为极大值，使得不可能再选择其更新。对于查询，我们只需要查询$1$~$n$的区间答案就行了。

具体的，我们用两棵线段树$T_1,T_2$，变量名定义如下。

变量名	类型	含义
b	int	更新点的a最小值
lzb	int	懒标记
l	int	左端点
r	int	右端点
a	pii	原来的a最小值及位置
mn	pii	最小的边权及位置

pii就是pair。

值得注意的是合并的时候千万不能合并$b$，因为子区间的$b$并不能覆盖父区间。记得开long long。

对于较慢的评测机，可能需要卡常（注释掉的都是卡常牺牲品）。

基于Borůvka

待学习，求教。

子序列

注意，为了方便，字符串从$1$开始记录。

我们考虑动态规划，先预处理$pre[i][j]$，$nxt[i][j]$分别表示在第$i$位时字符$j$的前驱与后继，如果没有，则为$0$。

预处理$f[i][j]$表示，从$n$到$i$，每个$s[i]$隔开的段之间含有$j$字符的最长字符数。容易得到转移方程：

$$\{\begin{array}{ll}& f[i][j]=f[nxt[nxt[i][j]][s[i]]][j]+2(nxt[i][j]\ne 0)\\ & f[i][j]=1(nxt[i][j]=0)\end{array}$$

对于每一个查询，我们直接枚举字符$i$，$j$，该情况下的答案$tmp$为。

$$\{\begin{array}{ll}& tmp=0(nxt[l][i]>r)\\ & tmp=f[nxt[l][i]][j]-f[pre[r][i]][j]+1(pre[r][i]>pre[r][j])\\ & tmp=f[nxt[l][i]][j]-f[nxt[r][i]][j](pre[r][i]<=pre[r][j])\end{array}$$

统计最优答案即可。