递归中的整数划分问题

递归中的整数划分问题

问题描述：

对于一个整数 n，想要将其划分为正整数若干之和。设这些正整数为 $ {m_i}
$，显然$0<m_i\le n$

对于一个划分，若$max(m_i)\le m$，则我们称这种划分为$n$的$m$划分，将其记为$N(n,m)$

那么，针对$m$的不同取值，可以将问题不断退化。

1. 若$n=1$，问题即为对$1$进行划分，那么方法仅有$1$中。故$N(1,m)=1$.
2. 若$m=1$，问题即为将整数n划分为1的和，那么方法也只有一种，（m个1相加）。故$N(n,1)=1$.
3. 若$n=m$，分为2种情况讨论：1：划分好的结果中最大数为n，那么划分法只有1种；2：划分好的结果中最大数小于n，问题退化为$N(n,m-1)$.
4. 若$n<m$，划分中的所有数字都不可能大于$n$，问题退化为$N(n,n)$.
5. 若$n>m$，分为2种情况讨论：1：划分好的结果中最大数为$m$，问题退化为$N(n-m,m)$；2：划分好的结果中最大数小于m，问题退化为$N(n,m-1)$.

最后，按照上面思路实现代码即可。

def splitNum(n, m):
    if n == 1 or m == 1:
        return 1
    elif n > m:
        return splitNum(n-m, m) + splitNum(n, m-1)
    elif n < m:
        return splitNum(n, n)
    elif n == m:
        return 1 + splitNum(n, n-1)
    else:
        return NotImplementedError


print(splitNum(6, 6))