647. 回文子串
题目描述
给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
示例 1：
输入："abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
示例 2：
输入："aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
提示：
输入的字符串长度不会超过 1000 。
思路一：暴力循环
暴力三循环，一共有 n(n+1)/2个子串，分别判断每个子串是否是回文串
1 class Solution {
2 public int countSubstrings(String s) {
3 // 暴力三循环，一共有 n(n+1)/2个子串，分别判断每个子串是否是回文串
4 if(s == null || s.length() == 0){
5 return 0;
6 }
7 int count = 0;
8 for(int i = 0; i < s.length(); i++){
9 for(int j = i; j < s.length(); j++){
10 boolean flag = true;
11 for(int k = 0; k < (j - i + 1)/2; k++){
12 if(s.charAt(k+i) != s.charAt(j-k)){
13 flag = false;
14 break;
15 }
16 }
17 if(flag == true){
18 count++;
19 }
20 }
21 }
22 return count;
23 }
24 }
leetcode 执行用时：620 ms > 6.67%, 内存消耗：37 MB > 59.58%
复杂度分析：
时间复杂度：很明显三个for循环，所以时间复杂度为O(n3)
空间复杂度：O(1)
思路二：动态规划
参考：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/shou-hua-tu-jie-dong-tai-gui-hua-si-lu-by-hyj8/
1 class Solution {
2 public int countSubstrings(String s) {
3
4 if(s == null){
5 return 0;
6 }
7 int count = 0;
8 int len = s.length();
9 boolean[][] dp = new boolean[len][len];
10 // 因为转态转移方程中求dp[i][j]时用到了dp[i+1][j], 所以我们的外层循环应该循环j
11 for(int j = 0; j < len; j++){
12 for(int i = 0; i <= j; i++){
13 // 如果区间两端字符相等，且区间长度小于等于2或者大于2但是内部是回文串，那么整个区间都是回文串
14 if(s.charAt(i) == s.charAt(j) && ((j-i) < 2 || dp[i+1][j-1])){
15 count++;
16 dp[i][j] = true;
17 }
18 }
19 }
20 return count;
21 }
22 }
复杂度分析：
空间优化
其实这个空间复杂度还可以再降低一些，那就是借助一维矩阵而非二维矩阵，因为dp[i][j]只与 dp[i+1][j-1]有关，也就是只与前一列有关，所以我们用一个一维矩阵，只存储原来二维矩阵中一列的值，dp[i] 就只与dp[i+1]有关，因为上一个dp[i+1]肯定是比当前列小一的，所以默认就是dp[i+1][j-1]， 很巧妙。我见过还有一题也用到了这样的一个技巧，就是求一个从矩阵左上角到右下角路径最大和。
1 class Solution {
2 public int countSubstrings(String s) {
3
4 if(s == null){
5 return 0;
6 }
7 int count = 0;
8 int len = s.length();
9 boolean[] dp = new boolean[len];
10 // 因为转态转移方程中求dp[i][j]时用到了dp[i+1][j], 所以我们不按行遍历，而是按列遍历
11 for(int j = 0; j < len; j++){
12 for(int i = 0; i <= j; i++){
13 // 如果区间两端字符相等，且区间长度小于等于2或者大于2但是内部是回文串，那么整个区间都是回文串
14 if(s.charAt(i) == s.charAt(j) && ((j-i) < 2 || dp[i+1])){
15 count++;
16 dp[i] = true;
17 }else{
18 // 因为这个dp[i]其实是原来的dp[i][j]，所以这里必须置为false,
19 // 如果没有置为false, 可能会沿用上一轮的值，导致真实值不正确
20 dp[i] = false;
21 }
22 }
23 }
24 return count;
25 }
26 }
leetcode 执行时间为：11 ms > 42.49%, 内存消耗：36.6 MB > 97.37%, 可以看到这个内存效率高了不少
复杂度分析：
思路三：中心扩展法
参考：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/liang-dao-hui-wen-zi-chuan-de-jie-fa-xiang-jie-zho/
选定中心点后，同时判断左右字符是否相等，如果相等，则构成了回文子串，再继续向左右扩张，判断是否能形成更长的回文子串。
首先每个字符都可以是中心点，其次所有相邻的两个字符也可以中心点，比如abba, 如果以单个字符中心点，那么abba这最长的回文子串就永远统计不到，但是如果以 bb 为中心点，则能统计到这个回文子串。
至于为什么三个相邻的字符，四个相邻的字符不是中心点，因为三个相邻的字符可以是单个中心点扩展一次得到，四个相邻的字符可以是两个相邻的字符扩展一次得到。所以中心点的个数为 2n-1, n 字符串长度。
1 class Solution {
2 public int countSubstrings(String s) {
3
4 if(s == null){
5 return 0;
6 }
7 int count = 0;
8 int len = s.length();
9 for(int center = 0; center < 2 * len -1; center++){
10 int left = center / 2; // 如果center是奇数，则left和right则是两个相邻的字符
11 int right = center / 2 + center % 2; // 如果center是偶数，则left和right是同个字符
12 while(left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)){
13 count++;
14 left--;
15 right++; // 向左右扩张一次
16 }
17 }
18 return count;
19 }
20 }
leetcode 执行用时：6 ms > 51.97%, 内存消耗：37.1 MB > 55.85%, 可以看到这个执行时间是动态规划的一半
复杂度分析：
时间复杂度：只有一个for循环，所以时间复杂度为O(n)
空间复杂度：O(1)