【算法设计zxd】第6章 回溯法
目录
6.1 回溯法的设计技术 ：
四皇后问题
回溯法：
算法框架：
思考题：
回溯算法的适用条件
【例6-1】求满足下列不等式的所有整数解：
6.2回溯算法的经典例题
【例6-2】装载问题
问题分析
计算模型
算法设计与描述
算法分析：
代码：
【例6-3】n皇后问题。
问题分析 算法思想详见开篇。
计算模型
算法设计与描述
算法分析
另一种：随机算法
【例6-4】 0-1背包问题。
问题分析
数学模型
计算模型
算法设计与描述
算法分析
代码：
【例6-5】旅行商问题(Traveling Salesman Problem，简称TSP)。
问题分析
计算模型
算法设计与描述：
小结
分支限界法的设计技术
分支限界法：
约束条件
剪枝
分支限界法的设计步骤
思考题：
【例6-6】装载问题。
计算模型
【例6-7】背包
问题分析
问题分析
计算模型
计算模型
算法设计与描述
【例6-8】旅行商问题(Traveling Salesman Problem，TSP)：
问题分析
计算模型
算法设计与描述
6.1 回溯法的设计技术 ：
活结点：可以生成子节点
扩展结点：
死结点：不能再进行子节点生成的
回溯法：
在约束条件下对解空间树进行深度优先搜索的过程，
并在搜索过程中剪去那些不满足条件的分支。
问题的解 ：
为n元组(X 1 ,…,X i ,…X n )，其中X i 选自有限集S · ，
当选出一组值X=(x 1 ,…,x i ,…x n )能够使评价函数P(x 1 ,…,x i ,…x n ) 满足问题的某种约束条件或到达极值。
基本策略 ：
每次只考虑一个分量，逐次扩大建立n元组，
并随时用评价函数P i (X 1 ,…,X i ,…X n)去判断正在形成的n元组是否有成功的希望，
一旦确定部分元组(X 1 , … ,X i)不能求出解时，则立即停止这种搜索，“剪掉”以当前结点为
根的分枝，
并逐次向上一个分量回溯，
然后向其它分支继续探索
算法框架：
(1) 开始结点 是一个活结点，也是一个 扩展结点 ；
(2) 如果能从当前的扩展结点移动到一个新的结点，那么这
个新结点将变成一个活结点和可扩展结点，旧的扩展结点
仍是一个活结点。
(3) 如果不能移动到一个新结点(已经找到一个解或违反约
束的情况)，当前的扩展结点就变成了一个 死结点 ，便只能
返回到最近被考察的活结点(回溯),这个活结点就变成了新
的扩展结点。
(4) 当找到了最优解或者没有活结点的时候（回溯尽了所有的活结点），搜索过程结束
| 回溯的递归框架 | 回溯的非递归模式 |
| 输入：n | |
| 输出：所有的解x[] | |
| int x[n],i=1; 输出结果; |
int x[n],i=1; //还未回溯到头， i为真 表示有路可走 while(i&&(未达到目标) ) { if(i>n)//搜索到叶节点 搜索到一个解，输出; else//处理第i个元素 { x[i]第一个可能的值； //x[i]不满足约束条件，但在搜索空间内 while( !P(x[i]) && x[i]在搜索空间内 ) x[i]下一个可能的值； if( x[i]在搜索空间内) { 标识占用的资源； i=i+1;//扩展下一个结点 } else { 清理所占的状态空间； i=i-1;//回溯 } } } |
思考题1：
(1)不是唯一， n元组
（3）剪枝：判断是否满足约束条件。执行：将结点标为死结点。
回溯算法的适用条件
多米诺性质
设向量X i = 1 , x 2 ,…,x i >，X i 
X，X = < x 1 , x 2 ,…,x i ,…,x n >，
X，X = < x 1 , x 2 ,…,x i ,…,x n >，
将X i 输入评价函数P，可以得到X i 的一组 特征值P(X i )，
取X i+1 = 1 , x 2 ,…,x i , x i+1 >【增加一个元素】，Xi+1 X，则P(Xi+1) 真蕴涵P(X i )，即
X，则P(Xi+1) 真蕴涵P(X i )，即
P(Xi+1) -> P(Xi) i∈(0,n) ,其中，n代表解向量的维数。
【子集，否则可能丢解】
【例6-1】求满足下列不等式的所有整数解：
解：令X i = 1 , x 2 ,…,x i >，P(X i )为对X i 的评估，判断其Xi是否满
足不等式，即P(X i ) ≤10。依据题目可知，本例中向量为一个三元
组< x 1 , x 2 , x 3 > 。
【丢解】
当x1=1、x2=2时， P(x1 ,x2 )= 5x1+4x2=5*1+4*2=13>10 不满足约束条件，分支x2=2将被剪去
然而，当x 1 =1、x 2 =2、x 3=3时， P(x 1 ,x 2 ,x 3 )= 5x 1 +4x 2 - x 3=5*1+4*2 - 3=10 满足约束条件，即<1, 2, 3>是不等式的解，
显然，此例中P(X 3 )不真蕴涵P(X 2)，违反了多米诺性质，从而丢解了。
【解决】
如果令x’3=4-x3 ，将原不等式变换为：5x1+4x2+x’3≤14 1≤xi , x’3≤3 i=1, 2
则该不等式满足多米诺性质，可以使用回溯法，对所得到的解x 1 、x 2 、x’ 3 转
换成原不等式的解x 1 、x 2 、x 3 即可。
代码：
#include
using namespace std;
//
int n=3;
int x[3]={1,1,1};
void show(int a[])
{
for(int i=0;in-1)//已经结束了最后一个数
{
// cout<<"结果:";
show(x);
return;//结束最后一层，回溯到上一层
}
//若不变
if(P(x,i)&&x[i]<4)//符合约束条件
{
x[i]=1;
fun(i+1); //下一层
}
//若2
if(P(x,i)&&x[i]<4)//符合约束条件
{
int t=x[i];
x[i]=2;
fun(i+1); //下一层
x[i]=t;//回复
}
//若3
if(P(x,i)&&x[i]<4)//符合约束条件
{
int t=x[i];
x[i]=3;
fun(i+1); //下一层
x[i]=t;//回溯后，本层尝试下一个可能
}
}
int main()
{
fun(0);
return 0;
}
/*
1 1 1
1 1 2
1 1 3
1 2 1
1 2 2
1 2 3
*/ 6.2回溯算法的经典例题
【例6-2】装载问题
有n个集装箱要装上一艘载重量为c的轮船，其中，集装箱i的重量为w i 。找出一种最优装载方案，让轮船尽可能多装集装箱，即在装载体积不受限制的情况下，尽可能使轮船满载。
问题分析
设集装箱数量n=5，轮船载重c=10，集装箱的重量w={7,2,6,5,4}
对于n个集装箱的装载问题，可将该问题的解定义为一个n元组
(x 1 ,…,x i ,…x n ), i∈Z, 1≤i≤n, x i ∈{0,1},
x i =1表示装入集装箱i，x i=0表 示不装入集装箱i。
其中，wi 表示第i个集装箱的重量。
满足多米诺条件 ：
计算模型
1. 数据结构定义
静态数据结构：
轮船载重量为c，集装箱数量为n，集装箱重量数组 w[]，这些变量在运算中不会发生改变。
动态数据结构：
i表示搜索的层数，加入一个集装箱后计算出的当前 载重量nowc、当前解x[]、当前最优重量maxc、当前最优解maxx[]， 剩余的集装箱重量r（初值为全部集装箱重量），
这些值都是边测试 边生成的，当所有计算全部完成后，maxc和maxx[]就是题目要求的 最优值和最优解。
2. 迭代公式
算法设计与描述
输入：c, n, w[]
输出：最优值maxc和最优解maxx[]
void search (int i){ /*递归法*/
if(i>n){//搜索完
if(nowc>maxc){//现在重量值
maxc=nowc;
for(int j=1;j<=n;j++)
maxx[j]=x[j];
}
return;
}
//剩余量
r=r-w[i]; //搜索第i层，同时减少可用量
//若不装，则岸上重量减去
if(nowc+w[i]<=c){ //满足约束，左子树
x[i]=1;
nowc=nowc+w[i];
search(i+1);//递归搜索i+1层
nowc=nowc-w[i];//回溯后恢复nowc
}
/*下面开始搜索右子树*/
if(nowc+r>maxc){ /*大于当前最优*/
x[i]=0;
search(i+1); //递归搜索i+1层
}
r=r+w[i];//对第i层搜索完毕，恢复r
}
算法分析：
(1)由算法设计与描述推导
T(1) = 2T(1) //集装箱1选择与不选择
2T(1) = 2*2T(1)＝2^ 2 T(1)
……
2 ^( n-1) T(1) = 2*2^( n-1) T(1) = 2^ n T(1)
T(n) = T(1)+ 2T(1)+ 2^ 2 T(1)+……+2^ n T(1)
= T(1)*(2^( n+1) – 1)≤2×2^ n =O(2^ n )
(2) 由选择树推导
结点数为: 1+2+2^ 2 +……+2^ n
=2^( n+1) - 1≤ 2×2^ n =O(2^ n )
代码：
#include
using namespace std;
int n=5;//集装箱数量
int c=10;//轮船载重
int w[]={7,2,6,5,4};//集装箱的重量
int nowc=0;//当前载重量
int x[5];//当前解
int maxc=0;//当前最优重量
int maxx[5]; //当前最优解
int r=7+2+6+5+4;//剩余集装箱的总重量
void show(int a[])
{
for(int i=0;in-1){//搜索完 递归出口
if(nowc>maxc){//现在重量值>当前最优
//更新最优解
maxc=nowc;
//记录最优解的路径
for(int j=1;j<=n;j++)
maxx[j]=x[j];
}
return;//结束最后一层的函数，回溯到上一层进行递归调用
}
r=r-w[i]; //此时 陆地上集装箱的剩余重量
//若不装，则岸上重量减去
if(nowc+w[i]<=c){ //满足约束（小于轮船载重量），左子树
x[i]=1;
nowc=nowc+w[i];
search(i+1);//递归搜索i+1层
nowc=nowc-w[i];//回溯后恢复nowc
//回到上一层
}
/*下面开始搜索右子树 */
//右子树是否需要递归
if(nowc+r>maxc){ /*上界函数 此时当前轮船已载重量+剩余集装箱重量 > 当前最优*/
x[i]=0;
search(i+1); //递归搜索i+1层
}//否则不进行递归，也就是可以确认为死结点
r=r+w[i];//对第i层搜索完毕，恢复r
//陆地上增加
}
int main()
{
search(0);//从第1层开始
cout< 【例6-3】n皇后问题。
在n*n的棋盘上放置相互攻击不到的n个皇后。
国际象棋规则：任意两个皇后之间不能处在同一行、同一列和同一斜线上，否则皇后间就可以相互攻击。
请给出满足条件的所有方案。
问题分析 算法思想详见开篇。
计算模型
（1）数据结构
皇后数量为n； sum为可行解的数量。
x[]记录皇后的摆放位置，下标为皇后所在行，值为列。
/*若数组下标 参与运算，会大大遍历*/
（2）计算模型
其中，式（2）与式（3）共同构成了对式（1）中所取得的值的一个评价，所以可以统称式（2）和式（3）为评价函数P。
算法设计与描述
输入：皇后的数量n
输出：皇后的摆放位置x[]，可以有多组
/*判断当前格局x[1...i]，是否符合约束*/
bool ok(int i){
for(int j=1;jn){//找到可行解
for(int j=1;j<=n;j++)
printf("%-5d",x[j]);
printf("\n");
sum=sum+1;//可行解数目+1
}
for(int j=1;j<=n;j++){//每一层都有n个元素
x[i]=j;
if(ok(i))//如果满足约束
queen(i+1);//搜索第i+1层
//否则就结束在这一层
}
} 算法分析
由选择树可知： 
由ok函数： 
时间复杂度为： 
另一种：随机算法
程序设计可能很麻烦，实际实现效率非常差。
回溯和随机相结合——更好
【例6-4】 0-1背包问题。
已知有n件物品，物品i的重量为wi、价值为pi。现从 中选取一部分物品装入一个背包内，背包最多可容纳的总重量是m，如何选择才能使得物品的总价值最大？
问题分析
物品数量n=3
物品重量w={10,20,30}
物品价值p={60,100,120}
背包承重m=50
数学模型
pi第i个物品价值>0，xi第i个物品是否被选择[0,1]
计算模型
1. 数据结构
背包容量m，物品数量n，物品重量数组w[]，物品价值数组p[]。
当前背包重量bagw，当前背包总价bagp，当前最优解x[]
当前最优总价值maxp，最优解maxx[]，可用的物品价值r。
2. 迭代公式
算法设计与描述
void bag(int i){
if(i>n){
if(bagp>maxp){
maxp=bagp;
for(int j=1;j<=n;j++){
maxx[j]=x[j];
}
}
return;
}
r=r-p[i]; //对第i层进行搜索,用r减少
if(bagw+w[i]<=m){ //满足约束
x[i]=1;
bagw=bagw+w[i];
bagp=bagp+p[i];
bag(i+1);
bagw=bagw-w[i]; //回溯后恢复bagw
bagp=bagp-p[i]; //回溯后恢复bagp
}
if(bagp+r>maxp){ //搜索右子树
x[i]=0;
bag(i+1);
}
r=r+p[i]; //对第i层进行搜索回来，恢复r
}
算法分析
思考题：
| 蛮力法 | 回溯法 | |
| 区别 | 回溯法有对右子树的剪枝 | |
| 时间渐进复杂度 | T(n)=O(2^n) | T(n)=O(2^n) |
| 区别 | 在实际运算中，同样情况下回溯法的时间复杂度优于蛮力法，回溯法最坏情况下的时间渐进复杂度与蛮力法相同。 | |
| 原因 | 回溯法存在剪枝操作。 | |
代码：
#include
using namespace std;
int n=3;//物品数量
int w[]={10,20,30};//物品重量
int p[]={60,100,120};//物品价值
int m=50;//背包称重
//使物品总价值最大
int bagw=0;//当前背包重量
int bagp=0;//当前背包价值
int x[3];//当前最优解
int maxp=0;//当前最优总价值
int maxx[3];//最优解
int r=60+100+120;//可用的物品价值，也就是物品总价值剩余量
void show(int a[])
{
for(int i=0;in-1)
{
if(bagp>maxp)
{
maxp=bagp;
for(int j=0;jmaxp)//如果当前价值+剩余价值> 当前最大价值 还有递归的必要
//如果是 当前价值+剩余价值 <= 当前最大价值,那么其实就没有递归的必要了
{
x[i]=0;//右子树
bag(i+1);
}
r=r+p[i];//对第i层进行搜索回来，回复r
}
int main()
{
bag(0);
cout< 【例6-5】旅行商问题(Traveling Salesman Problem，简称TSP)。
问题分析
假设城市数量n=4，V={A,B,C,D}，城市间的距离如图6-9所示的图结构。
设出发城市为A，问题的解空间为{A→{B，C，D三者的全排列}→A}
计算模型
1. 数据结构
城市数量n，距离矩阵d[][]，城市名称city[]。
当前路径距离nowd，当前路径nowx[],最短距离mind,最优路径x[]。
2. 迭代公式
算法设计与描述：
输入：城市数量n，距离d[][]，
城市名city[]
输出：最优路径x[]，最优值mind
算法分析
对由n个城市形成的全排列树来说，所含的结点数目为：
| 蛮力法 | 回溯法 | |
| 区别 | ||
| 时间渐进复杂度 | O( (n-1)! ) | O( （n-1）! ) |
小结
二分查找算法
分治算法策略的设计模式
大整数乘法和Strassen矩阵乘法
棋盘覆盖问题
选择性问题