【算法设计与分析】-- 贪心法

目录

一、基本思想

二、两个例子说明贪心算法的适用场景：

背包问题：

0-1背包问题：

三、活动安排问题（选择、调度问题）

问题描述

算法设计

算法复杂度

算法正确性证明

四、最优装载问题

问题描述

算法设计

算法描述

算法复杂度

五、背包问题

贪心策略

算法描述

算法复杂度

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一、基本思想

求解组合优化问题的贪心算法包含一系列步骤。每一步都在一组选择中做出在当前看来最好的选择，希望通过做出局部优化选择达到全局优化选择，但贪心算法不一定总产生优化解，所以一个贪心算法是否产生优化解，需要严格证明。

贪心选择性：每一步都在一组选择中做出在当前看来最好的选择。

二、两个例子说明贪心算法的适用场景：

背包问题：

给定n种物品和一个背包。物品i的重量是wi，其价值为vi,背包的容量为c。问应如何选择物品装入背包，使得装入背包中的物品的总价值最大?在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部。用贪心算法，每次选单位重量价值vi/ wi最大的物品i放进包中。背包问题具有最优子结构性质，它可以用动态规划算法来解。但用贪心算法更简单，解题效率更高。贪心算法总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优上加以考虑，所以贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解。

0-1背包问题：

        给定n种物品和- -个背包。物品i的重量是wi,其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择物品装入背包，使得装入背包中的物品的总价值最大?在选择物品装入背包时，对每种物品i只有两种选择，要么装入，要么不装入，不能将物品i装入背包多次，也不能只装入物品i的一部分。因此，该问题称为0-1背包问题。

        设有3物品，这3个物品的重量W={3,5,7}，价值为V={9,10,12}，背包容量c=10。用贪心法会将物品1和2装包，获得的价值为19，但最优解是将物品1和3装包，获得的价值为21。

        0-1背包问题也具有最优子结构性质。但是0-1背包问题却不能用贪心算法求解。对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终将背包装满，背包部分空间的闲置使每单位重量背包空间所具有的价值降低了(该问题不具有贪。心选择性)。事实上，在考虑0-1背包问题的物品选择时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终结果，然后再做出最好的选择。

贪心算法求解的问题必须具有最优质子结构和贪心选择性。

三、活动安排问题（选择、调度问题）

问题描述

设有n个活动的集合S三_ {1. 2. . n}，其中每个活动都要求以独占的方式使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只允许一个活动使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资
源的起始时间si和一个结束时间fi，且si

算法设计

贪心思想：为了选择最多的相容活动，每次选fi最小的活动，使剩余的可安排时间段极大化，以便接待尽可能多的相容活动。

例：

设活动集S = {1，2，.....，11}中的活动已按结束时间非降序排列。

第1步，选活动1；

第2步，在剩余相容活动子集{4，6，7，8，9，11}中选结束时间最早的活动4.

第3步，在剩余相容活动子集{8，9，11}中选结束时间最早的活动8.

第4步，在剩余相容活动子集{11}中选结束时间最早的活动11.

这时，剩余相容活动子集{}变为空集，从而得S的一个最优解A = {1，4，8，11}

void GreedySelector(int n,Type s[],Type f[],bool A[]){
	A[1] = true;//选择活动1
	int j = 1;// j记录最近一次添加到A中的活动
	for(int i = 2;i<=n;i++){
		if(s[i]>=f[j]){//找到相容活动 
			A[i] = true;
			j = i;
		}
		else A[i] = false
	}
}

算法复杂度

按结束时间已排序：O（n）

按结束时间未排序：O（nlogn）

算法正确性证明

①证明问题具有优化子结构

②证明问题具有贪心选择性

③活动安排问题的贪心算法是按选择性进行局部优化

四、最优装载问题

问题描述

        有一批集装箱要装_上一艘载重量为c的轮船。其中，集装箱i的重量为wi。最优装载问题要求确定，在装载体积不受限制的情况下，应如何装载才能将尽可能多的集装箱装，上轮船。

        设n是集装箱总数。该问题可形式化地描述为:求一个n维的0-1向量(X1, X2, . , Xn) (x,∈{0,1},i = 1,2,3...,n.在满足wixi<=c（i从1开始到n结束）时，使xi（i从1开始到n结束）最大，其中xi = 0表示不装入集装箱i，xi = 1表示装入集装箱i。

算法设计

贪心思想：用重量最轻者先装的贪心选择策略，由此可产生装载问题的最优解。

算法描述

假设集装箱已按重量递增的次序排序。

void Loading(int x[],Type w[],Type c,int n){
	for(int i = 1;i<=n;i++)
		x[i] = 0;//初始化全部为0，数组元组X[i] = 0表示 不装入集装箱i
	for(int i = 1;i<=n&&w[i]<=c;i++){
		x[i] = 1;
		c -= w[i];
	} 
}

算法复杂度

当集装箱已按重量从小到大排序：O（n）

未排序：O（nlogn）

五、背包问题

问题前面已描述，这里省略.....

贪心策略

        选择单位重量价值vi/ wi最大的物品。每次从物品集合中.选择单位重量价值最大的物品，如果其重量小于背包容量，就可以把它装入，并将背包价值增加该物品的价值，同时背包容量减去该物品的重量，然后就面临了一个最优子问题一一它 同样是背包问题，只不过背包容量减少了，物品集合减少了。因此可以证明背包问题,具有最优子结构性质。

算法描述

//n为物品数量，c为背包容量，v存放物品价值， w存放物品重量 ，x存放物品是否装的状态，value为得到的最终总价值 
void Knapsack(int n,float c,float v[],float w[],float x[],float &value){
//	假设已将各种物品依其单位重量的价值 vi/wi从大到小排序
	float value = 0;// 最大价值
	for(int i = 1;i<=n;i++)x[i] = 0;//初始化 
	for(int i = 1;i<=n&&w[i]<=c;i++){
		x[i] = 1;//装入背包 
		c -= w[i];//减少背包能装入 的余下重量 
		value += v[i];//累计总价值 
	}
	if(i<=n){//当w[i]>c时，即不能完整放入下面的物品时 
		x[i] = c/w[i];//将物品i 的一部分装入
		value += x[i]*v[i] 
	} 
}

算法复杂度

已排序：O（n）

未排序：O（nlogn）

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