【每日一题Day351】LC2530执行 K 次操作后的最大分数 | 原地堆化

执行 K 次操作后的最大分数【LC2530】

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个整数 k 。你的 起始分数 为 0 。

在一步 操作 中：

1. 选出一个满足 0 <= i < nums.length 的下标 i ，
2. 将你的 分数 增加 nums[i] ，并且
3. 将 nums[i] 替换为 ceil(nums[i] / 3) 。

返回在 恰好 执行 k 次操作后，你可能获得的最大分数。

向上取整函数 ceil(val) 的结果是大于或等于 val 的最小整数。

学到了

大顶堆+贪心

• 思路

  • 每次操作尽量选择数组中的最大值，以获得最大分数
  • 借助大顶堆存储数组元素，那么堆顶元素为每次操作的元素，每次操作完成后将$ceil(num/3)$放入堆中，向上取整的实现有以下三种
    • 调用API：Math.ceil(num/3.0)
    • 判断余数是否为0：num / 3 + (num % 3 == 0 ? 0 : 1)
    • 加2后再进行整除：(num + 2) / 3

• 实现

  class Solution {
      public long maxKelements(int[] nums, int k) {
          PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((o1, o2) -> o2 - o1);   
          long res = 0L;
          for (int num : nums){
              pq.add(num);
          }
          for (int i = 0; i < k; i++){
              int num = pq.poll();
              res += num;
              // pq.add(num / 3 + (num % 3 == 0 ? 0 : 1));
              pq.add((num + 2) / 3);
              pq.add((int)Math.ceil(num / 3.0));
  
          }
          return res;
  
      }
  }
  

  • 复杂度
    • 时间复杂度：$O(n+klogn)$
    • 空间复杂度：$O(n)$

堆排序：原地堆化

• 思路：优化空间复杂度，将数组作为大顶堆

  • 大顶堆中的子节点值均不大于父节点的值，即满足$nums[i]\ge nums[2\ast i+1]$，$nums[i]\ge nums[2\ast i+2]$，并且堆化后数组中最大的元素为$nums[0]$
  • 堆化：将每个父节点进行下沉，判断子节点值是否不大于父节点的值
    • 如果子节点的值大于父节点的值，那么将最大子节点与父节点进行交换，直至判断到叶子节点
    • 如果子节点的值均小于父节点的值，那么不做操作
  • 取$k$个最大的元素：每进行一次操作，将$nums[0]$变为$ceil(nums[0]/3.0)$，然后下沉堆顶元素

• 实现

  class Solution {
      public long maxKelements(int[] nums, int k) {
          heapify(nums); // 原地堆化（最大堆）
          long ans = 0;
          while (k-- > 0) {
              ans += nums[0]; // 堆顶
              nums[0] = (nums[0] + 2) / 3;
              sink(nums, 0); // 堆化（只需要把 nums[0] 下沉）
          }
          return ans;
      }
  
      // 原地堆化（最大堆）
      // 堆化可以保证 h[0] 是堆顶元素，且 h[i] >= max(h[2*i+1], h[2*i+2])
      private void heapify(int[] h) {
          // 下标 >= h.length / 2 的元素是二叉树的叶子，无需下沉
          // 倒着遍历，从而保证 i 的左右子树一定是堆，那么 sink(h, i) 就可以把左右子树合并成一个堆
          for (int i = h.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
              sink(h, i);
          }
      }
  
      // 把 h[i] 不断下沉，直到 i 的左右儿子都 <= h[i]
      private void sink(int[] h, int i) {
          int n = h.length;
          while (2 * i + 1 < n) {
              int j = 2 * i + 1; // i 的左儿子
              if (j + 1 < n && h[j + 1] > h[j]) { // i 的右儿子比 i 的左儿子大
                  j++;
              }
              if (h[j] <= h[i]) { // 说明 i 的左右儿子都 <= h[i]，停止下沉
                  break;
              }
              swap(h, i, j); // 下沉
              i = j;
          }
      }
  
      // 交换 h[i] 和 h[j]
      private void swap(int[] h, int i, int j) {
          int tmp = h[i];
          h[i] = h[j];
          h[j] = tmp;
      }
  }
  
  作者：灵茶山艾府
  链接：https://leetcode.cn/problems/maximal-score-after-applying-k-operations/solutions/2487446/o1-kong-jian-zuo-fa-pythonjavacgojsrust-ztx6f/
  来源：力扣（LeetCode）
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  • 复杂度
    • 时间复杂度：$O(n+klogn)$
    • 空间复杂度：$O(1)$