数据结构: 二叉搜索树

目录

1.二叉搜索树概念

2.二叉搜索树的操作

3.二叉搜索树的实现

3.1定义BST

3.2功能实现

1.默认成员函数

2.非递归

插入

查找

删除

3.递归

插入

查找

删除

4.二叉搜索树的应用

---

1.二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它可以是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

2.二叉搜索树的操作

1.查找

从根开始查找:

--若查找的值比根节点的值大, 向右查找. 

--若比根节点的值小向左查找.

--循环下去,若到nullptr都没找到,返回false

2.插入

a.空树

1.直接将其设为根节点

b.非空树

1.根据二叉搜索树的性质,找到插入的位置

2.在该位置上新生成一个节点,并与父节点链接

(可能是左,也可能是右) 根据这个节点的key与parent的key值判断在那边链接

3.删除

1.找到要删除的节点

2.对该节点进行讨论:

a.该节点没有节点或只有1子个节点

--可以直接删除, 并将它的子节点给它的父点

b.该节点有2个子节点

--找到它左子树最大节点/右子树最小节点来代替它, 并将其删除

3.细节处理

当删除到root->left/right为空的时候, 需要更新头节点

3.二叉搜索树的实现

3.1定义BST

节点

template
struct BSTreeNode 
{
	BSTreeNode* _left;
	BSTreeNode* _right;
	K _key;

	//构造函数
	BSTreeNode(const K& k) 
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_key(k)
	{}
};

BSTree

template
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode Node;
public:

    //功能
	bool Insert(const K& key, const V& value);
	Node* Find(const K& key);
	bool Erase(const K& key);
	void _InOrder(Node* root);
	void InOrder();

private:
	Node* _root = nullptr;
};

3.2功能实现

1.默认成员函数

构造函数

	//构造函数
	BSTree()
		:_root(nullptr)
	{}

拷贝构造

	//拷贝构造
	BSTree(const BSTree& t) 
	{
		Copy(t._root);
	}
	Node* Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return nullptr;
		//前序遍历拷贝
		Node* newRoot = new Node(root->_key);
		newRoot->_left = Copy(root->_left);
		newRoot->_right = Copy(root->_right);

		return newRoot;
	}

赋值运算符

	//赋值运算符
	BSTree& operator=(BSTree t)
	{
		swap(_root,t._root);
		return *this;
	}

析构函数

	//析构函数
	~BSTree() 
	{
		Destory(_root);
	}

	void Destory(Node*& root) 
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		Destory(root->_left);
		Destory(root->_right);
		
		delete root;
		root = nullptr;
	}

2.非递归

插入

a.空树

--插入的节点直接变为根节点

b.非空树

--根据二叉搜索树性质找到插入的位置

--与父节点链接(讨论parent的key与插入节点的key值来决定链接在parent的那边)

	bool Insert(const K& key)
	{
		//a.空树(直接将该节点设为根节点)
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		//b.非空树
		//1.找到插入的位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//2.链接节点
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key > key)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		return true;
	}

查找

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur) 
		{
			if (key < cur->_key) 
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_key) 
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else 
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullpte;
	}

删除

找到删除节点的位置

1.删除的节点只有1个节点或者没有节点(直接删除,将cur的子节点给parent)

--没有节点也可以这么操作,相当于把空的子节点给父亲

--若有1个子节点,把该子节点给父亲 (讨论cur的位置,可能是p的左也可能是p的右)

2.删除的节点有2个节点:  找到它左子树最大的节点/ 右子树最小的节点代替它, 并删除

--找到删除的节点

--找到左子树最大节点/右子树最小节点来代替它(把cur存的key变为leftMax/rightMin的key)

--找该节点的过程, cur是在leftMax/rightMin的位置,删除cur节点

(当然要处理它的子节点,讨论一下leftMax是pleftMax左边还是右边)

3.处理空指针: 当删除的节点为cur, 并且cur只有左子树或者只有右子树,更新头节点

	bool Erase(const K& key) 
	{
		//找到要删除的节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur) 
		{
			if (cur->_key > key) 
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else 
			{
				//删除
				//1.左为空
				if (cur->_left == nullptr) 
				{
					//处理删除到根节点只有左子树/右子树
					if (cur == _root) 
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else 
					{
						//将子节点给父节点
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}
					delete cur;
				}
				//2.右为空
				else if (cur->_right == nullptr) 
				{
					if (cur = _root) 
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else 
					{
						if (parent->_left == cur) 
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else 
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
					}
				}
				//3.左右不为空(找左子树最大节点/右子树最小节点)
				else 
				{
					Node* pmaxLeft = cur;
					Node* maxLeft = cur->_left;

					while (maxLeft->_right) 
					{
						pmaxLeft = maxLeft;
						maxLeft = maxLeft->_right;
					}
					cur->_key = maxLeft->_key;
					
					//把maxLeft的子节点交给其parent,然后删除maxLeft
					if (pmaxLeft->_left == maxLeft) 
					{
						pmaxLeft->_left = maxLeft->_left;
					}
					else 
					{
						pmaxLeft->_right = maxLeft->_left;
					}
					delete maxLeft;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

3.递归

插入

	//1.插入
	bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}

		if (root->_key > key)
		{
			return _InsertR(root->_left, key);
		}
		else if (root->_key < key)
		{
			return _InsertR(root->_right, key);
		}
	}

查找

根据二叉搜索树的性质查找:

	//2.查找
	bool _FindR(Node*& root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return false;
		}

		if (root->_key == key)
			return true;

		if (root->_key > key)
			return _FindR(root->_left, key);
		else
			return _FindR(root->_right, key);

	}

删除

	//3.删除
	bool _EraseR(Node*& root, const K& key) 
	{
		if (root == nullptr)
			return false;

		//找到要删除的节点
		if (root->_key > key) 
		{
			return _EraseR(root->_left, key);
		}
		else if (root->_key < key) 
		{
			return _EraseR(root->_right, key);
		}
		else 
		{
			//删除
			Node* del = root;
			//1.左为空
			if (root->_left == nullptr) 
			{
				root = root->_right;
			}
			//2.右为空
			else if (root->_right == nullptr) 
			{
				root = root->_left;
			}
			//3.左右不为空
			else 
			{
				Node* minRight = root->_right;
				while (minRight->_left) 
				{
					minRight = minRight->_left;
				}
				swap(root->_key,minRight->_key );

				//转换为在它的右子树去删除
				return _EraseR(root->_right,key);
			}
			delete del;

			return true;
		}
	}

效果:

4.二叉搜索树的应用

1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：

• 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
• 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即的键值对。该种方
式在现实生活中非常常见：

• 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文就构成一种键值对；
• 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是就构成一种键值对

示例

英汉词典

统计次数

中序遍历打印的时候,补上value就行:

达到上面的效果:把K改为KV型

节点:

BSTree

5.性能分析

最优: logN

最差: N