【2018.12.22模拟赛】Party【启发式合并】【数据结构】（无实现）

Description

给出了一棵以1为根的有n个节点的树。
m组询问，每个询问选择一个区间[l,r]。
你需要回答满足$z\in [1,n]$且存在$x,y\in [l,r]$使得$lca(x,y)=z$的$z$的个数。
$n,m\le 3\times 10^5$

Solution

好题啊

考虑对于一个点，表示出能贡献的区间

对于两个点$x,y,x<y$，令$z=lca(x,y)$，那么至少对于所有的$[l,r],l\le x,y\le r$，z都是可以贡献的。

先将z本身就在区间$[l,r]$中的情况排除

我们可以设法找出所有点对x,y，当然这是不现实的，我们可以考虑只找出极小的点对，即x与y最接近的那些。

这样思路就明朗了，对于每一个z,枚举它子树中的节点p，令它作为上面的y，也就是说只需要找到z的除p所在的子树的其他子树中最大的$q$满足$q<p$，这样就求出了一对点对。

我们发现这样效率很低
考虑启发式合并，即子树大小最大的那个儿子（即轻重链剖分的重儿子）中我们不枚举，只枚举轻儿子，此时不仅要求最大的$q$满足$q<p$，还要求最小的$q^{\prime }$满足$q^{\prime }>p$，这个用个set维护一下就好了，合并就启发式暴力合并。

这样我们算出来的点对只有$O(n\log n)$对
考虑计算答案。
扫描线，从小到大枚举询问区间右端点，设$left[i]$表示节点i此时能贡献所有$l\le left[i]$的询问，显然它是单调不降的。

我们将点对挂在相应的y处，枚举到就直接改left就行了，询问就用树状数组查询。

总的时间复杂度$O(n{\log }^{2}n)$