《python数学实验与建模》（2）高等数学与线性代数

python 数学应用

• 3.1 求下列积分的符号解

（1）${\int }_0^1\sqrt{1+4x}dx$ (2)${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\sin xdx$

from sympy  import*#导入sympy的所有函数
x=symbols('x')#创建符号变量
res1=integrate(sqrt(1+4*x),(x,0,1))#积分1
res2=integrate(exp(-x)*sin(x),(x,0,oo))#积分2

结果：

• $-\frac{1}{6}+\frac{5\sqrt{5}}{6}$

• $\frac{1}{2}$

• 3.2 求方程$x^3-4x^2+6x-8=0$ 的符号解和数值解

from sympy  import*
from  scipy.optimize import fsolve
b=solve( x**3-4*x**2+6*x-8,x)#求符号解（求解出来是复数）
f=lambda x: x**3-4*x**2+6*x-8
a=fsolve(f,0)#符号解（默认是牛顿迭代法，以0为初值，二阶导函数连续）
print(a)
print(b.n())#打印数值解

• $\frac{4}{3}-\frac{2}{9\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}\right)\sqrt[3]{\frac{64}{27}+\frac{2\sqrt{114}}{9}}}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}\right)\sqrt[3]{\frac{64}{27}+\frac{2\sqrt{114}}{9}}$

• $\frac{4}{3}+\frac{2}{9\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}\right)\sqrt[3]{\frac{64}{27}+\frac{2\sqrt{114}}{9}}}-\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}\right)\sqrt[3]{\frac{64}{27}+\frac{2\sqrt{114}}{9}}$

• （数值解）array([2.8812394])

• 3.3 求方程组的符号解和数值解

$$\{\begin{array}{rl}{x}^2-y-x& =3\\ x+3y=6& \end{array}$$

from sympy  import*
from  scipy.optimize import fsolve
x,y=symbols('x y')
exp1=x**2-y-x-3
exp2=x+3*y-6
print（solve([exp1,exp2],[x,y])）
结果：
#[(1/3 - sqrt(46)/3, sqrt(46)/9 + 17/9), (1/3 + sqrt(46)/3, 17/9 - sqrt(46)/9)]

• 3.4 求边值问题$y^{{}^{\prime \prime }}+y=x\cos 2x,y(0)=1,y(2)=3$ 的符号解.

from sympy  import*
y=Function('y')#将y定义为函数
exp=diff(y(x),x)+diff(y(x),x,2)-x*cos(2*x)
dsolve(exp,ics={y(0):1,y(2):3})#附上初值条件

$$y\left(x\right)=\frac{x\sin \left(2x\right)}{10}-\frac{x\cos \left(2x\right)}{5}+\frac{4\sin \left(2x\right)}{25}+\frac{13\cos \left(2x\right)}{100}+\frac{27e^2\cos \left(4\right)-87-36e^2\sin \left(4\right)+300e^2}{-100+100e^2}+\frac{\left(-213e^2+36e^2\sin \left(4\right)-27e^2\cos \left(4\right)\right)e^{-x}}{-100+100e^2}$$

• 3.5已知

$$A_1=\left[\begin{array}{rr}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]，A_2=\left[\begin{array}{rr}1& 1\\ 2& 2\\ 3& 4\end{array}\right],A_3=[26],A_4=[32]$$
利用Python 分块矩阵的组合，求分块矩阵$A=\left[\begin{array}{rr}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right]$ 的行列式$|A|$ .

A1=Matrix([[1,2],[3,4],[5,6]])
A2=Matrix([[1,1],[2,2],[3,4]])
A3=Matrix([2,6]).T
A4=Matrix([3,2]).T
A=A1.col_join(A3).row_join(A2.col_join(A4))#构造A
#求|A|
print（"分块矩阵A：",A）
print（"|A|：",A.det()）# 求行列式

• 3.6 求解下列线性方程组
  $$\begin{gathered} (1)\{\begin{array}{rl}{x}_1+2x_2+x_3-x_4=0& \\ 3x_1+6x_2-x_3-3x_4=0& \\ 5x_1+10x_2+x_3-5x_4=& 0\end{array} \\ (2)\{\begin{array}{rl}2x+y-z+w=1& \\ 4x+2y+-2z+w& =2\\ 2x+y-z-w=1& \end{array} \end{gathered}$$

#(1)
#1.代数解法（符号解）
A=Matrix([[1,2,1,-1],[3,6,-1,-3],[5,10,1,-5]])#创建矩阵
res1=A.nullspace()[0]#非齐次线性方程组（方程的个数小于未知数的个数-无穷多解）
res2=A.nullspace()[1] 
#res1 res2为解空间的基（基础解系）

#2.求解方程组
x1,x2,x3,x4=symbols('x1 x2 x3 x4')#创建符号变量
ep1=x1+2*x2+x3-x4
ep2=3*x1+6*x2-x3-3*x4
ep3=5*x1+10*x2+x3-5*x4
result=solve([ep1,ep2,ep3],[x1,x2,x3,x4])#结果为字典
#result: {x1: -2*x2 + x4, x3: 0}

#(2)
#1.代数解法（符号解）
B=Matrix([[1,2,-1,1],[4,2,-2,1],[2,1,-1,-1]])
b=Matrix([[1],[2],[1]])
P=B.row_join(b)#创建增广矩阵
print（P.rref()[0]）#初等变换化简增广矩阵-推导出基础解系
#2.求解方程组
x,y,z,w=symbols('x y z w')
print（solve([2*x+y-z+w-1,4*x+2*y-2*z+w-2,2*x+y-z-w-1],[x,y,z,w])）
#{x: -y/2 + z/2 + 1/2, w: 0}

(1)基础解系：$\left[\begin{array}{r}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

（2）化简后的增广矩阵： $A=\left[\begin{array}{rrrcc}1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ ,基础解系为$\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]k_1$$+\left[\begin{array}{r}\frac{1}{2}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]k_2$ +$\left[\begin{array}{r}\frac{1}{2}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

• 3.7 先判断下列线性方程组的解的情况，然后求对应的唯一解，最小二乘解或最小范数解

• pinv 伪逆：无穷多解时取最小范数解，矛盾方程（无解）时取最小二乘解
  $$\begin{gathered} (1)\{\begin{array}{rl}4x_1+2x_2-x_3& =2\\ 3x_1-x_2+2x_3& =10\\ 11x_1+3x_2=8& \end{array} \\ (2)\{\begin{array}{r}2x+3y+z=4\\ x-2y+4z=-5\\ 3x+8y-2z=13\\ 4x-y+9z=-6\end{array} \end{gathered}$$

import numpy as np
import numpy.linalg as la
#(1)
#构造矩阵
A=np.array([[4,2,-1],[3,-1,2],[11,3,0]])
b=np.array([2,10,8]).reshape(3,1)
print('A的秩=',la.matrix_rank(A))#行列式为零
print('A的行列式=',la.det(A))
#无穷多解
#最小范数解
print('最小范数解:\n',la.pinv(A).dot(b))
#result:A的秩= 2
#A的行列式= 4.440892098500635e-15 （等价于0）
#最小范数解:
[[ 1.21304348]
[-1.44782609]
[ 1.95652174]]
#(2)
A=np.array([[2,3,1],[1,-2,4],[3,8,-2],[4,-1,9]])
b=np.array([4,-5,13,-6]).reshape(4,1)
print('A的秩=',la.matrix_rank(A))#行列式为零
#无解（未知数<方程）
#最小二乘解
print('最小二乘解:\n',la.pinv(A).dot(b))
#A的秩= 2
#最小二乘解:
[[ 0.33333333]
[ 1.33333333]
[-0.66666667]]
#注意！要使用la.solve()求解方程组的函数，必须满足为满秩矩阵

• 3.8 求下列矩阵的特征值和特征向量
  $$A=\left[\begin{array}{rrr}6& 2& 4\\ 2& 3& 2\\ 4& 2& 6\end{array}\right]$$

#符号法构造矩阵
A=Matrix([[6,2,4],[2,3,2],[4,2,6]])
print('A的特征值=',A.eigenvals())#{11: 1, 2: 2}
print('A的特征向量=',A.eigenvects())

序列解包后的得到的特征向量$(\lambda =2)\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ $,\left[\begin{array}{r}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ $(\lambda =11)\left[\begin{array}{r}1\\ \frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right]$

• 3.9 已知二次型$f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2a{x}_1{x}_2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2b{x}_2{x}_3,$经过正交化变换化为标准型$f=y_2^2+2y_3^2$ ,求参数$a,b$及所用的正交变换矩阵。
• 二次型矩阵为：

​ $A=\left[\begin{array}{rrr}1& \frac{a+1}{2}& 1\\ \frac{a+1}{2}& 1& b\\ 1& b& 1\end{array}\right]$

• 变换后的对角阵为：

​ $\left[\begin{array}{rrr}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

#变换后的对角阵上的元素即为特征值
a,b,c=symbols('a b c')
A=Matrix([[x-1,-together((a+1)/2),-1],[-together((a+1)/2),x-1,-b],[-1,-b,x-1]])#构造拉姆达矩阵
ex1=A.det().subs(x,0)
ex2=A.det().subs(x,1)
ex3=A.det().subs(x,2)#不同特征值带入
#求解非线性方程组（确定参数a,b）
a,b=solve([ex1,ex2,ex3],[a,b])[0]
print("a:{0},b:{1}".format(a,b))#a:-1,b: 0
#构造实矩阵
B=Matrix([[1,0,1],[0,1,0],[1,0,1]])
#求特征向量
T1,T2,T3=B.eigenvects()
L=[T1[2][0],T2[2][0],T3[2][0]]
o1=GramSchmidt(L)#施密特正交化方法（实际求出的不同特征值下的特征向量已是正交向量组）
#构造正交矩阵
T=o1[0].row_join(o1[1]).row_join(o1[2])

最后求得的正交阵为$T=\left[\begin{array}{rrr}-1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$

• 3.10 画出$\cos \sqrt{x^2+1}$ 及它在0处的1，3，5阶泰勒展开式在$x\in [-3,3]$时的图形

from sympy import *
x=symbols('x')
plot((cos(sqrt(x**2+1))),(x,-3,3))
#泰勒展开
exp=cos(sqrt(x**2+1))
plot(exp,exp.series(x,0,1).removeO(),exp.series(x,0,3).removeO(),exp.series(x,0,5).removeO(),(x,-3,3))

​

​

• 3.11 一只兔子在坐标位置（20，0）（单位：m）处以速率$v_r=3m/s$沿平行于y轴正向的方向奔跑；与此同时，一只猎狗在坐标原点处以速率$v_d=4.5m/s$追击兔子.猎狗在追击兔子的过程中，方向始终朝向兔子的当前位置.请绘制猎狗追击兔子的近似曲线，并估计追击时间.

#参考CSDN python仿真
import numpy as np
from matplotlib.pyplot import *

Xr=[20];Yr=[0];vr=3#兔子的水平、竖直位置及速度
Xd=[0];Yd=[0];vd=4.5#猎狗的水平、竖直位置及速度
dt=0.1

L=20
n=0
while L>0.1:
    Yr.append(dt*vr+Yr[n])
    Xr.append(20)
    X=Xr[n]-Xd[n]
    Y=Yr[n]-Yd[n]
    L=np.sqrt(X**2+Y**2)#直角边长
    '''
    X:水平相对位置
    Y:竖直相对位置
    L:相对位置
    '''
    Yd.append(Yd[n]+vd*dt*Y/L)#列表更新
    Xd.append(Xd[n]+vd*dt*X/L)
    n+=1

print('所用时间:%.2f秒'%(n*dt))
plot(Xr,Yr,Xd,Yd)
show()
#所用时间: 8.10秒秒

• 3.12 分别求下列积分数值解：

(1)${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}\sin (\sqrt{x^2+2})dx$

(2)$\underset{D}{\iint }(x^2+2y^2)dxdy$ 其中$D$是由曲线$x=y^2,y=x-2$ 所围成的平面区域.

(3)$\underset{\Omega }{\iiint }zdxdydz,$ 其中$\Omega$ 是由曲面$z=x^2+y^2$ 与平面$z=4$ 所围成的闭区域

#一重积分（默认辛普森积分法）
#定义函数
import numpy as np
from scipy.integrate import quad


f=lambda x:np.exp(-x)*np.sin(np.sqrt(x**2+2))
print("I1：",quad(f,0,np.inf)[0]) 
#先将该积分化为累次积分（抛物线与直线围成的区域）
f2=lambda y,x:x**2+2*y**2
print('I2:',dblquad(f2,1,4,-1,2)[0])
#三重积分（在椭圆抛物面与平面围成的区域上积分）
f3=lambda z,y,x: z
F=lambda x:np.sqrt(4-x**2)
print('I3:',tplquad(f3,-2,2,lambda x:-F(x),lambda x:F(x),0,4)[0] )
#结果
I1：
0.8328534212790222
I2: 81.0
I3: 100.53096491487351

2. $-1\le y\le 2,1\le x\le 4$
3. ${\int }_{-2}^{2}dx{\int }_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}dy{\int }_0^{4}zdz$

• 3.13 求函数$f(x)=2e^{-x}sinx$在[0,3]上的极小点和极大点

from scipy.optimize import *
import numpy as np
from  sympy import *
x=symbols('x')
y=2*exp(-x)*sin(x)
print('极大点：'solve(diff(y,x),x)[0])#为极值点 pi/4
f=lambda x:2*np.exp(-x)*np.sin(x)
print('极小点：',fminbound(f,0,3))#非极值点，但是为区间上的最小值点 2.9999965472915386
#plot(y,(x,0,3))可以绘制图像观察如下：

• 3.14 某容器内侧是由曲线$x^2+y^2=4y(1\le y\le 3)$ 与$x^2+y^2=4(y\le 1)$绕y轴旋转一周而形成的曲面.

1. 求容器的体积
2. 若将容器内盛满的水从容器底部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位为m,重力加速度$g=9.8m/s^2,水的密度\rho =10^{3}kg/m^3$）

1. 容器体积：（旋转曲面积分）$\frac{\pi }{2}{\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$ $\frac{\pi }{2}{\int }_{-2}^{1}4-y^{2}dy+\frac{\pi }{2}{\int }_1^{3}4-(y-1{)}^{2}dy$

2.功的微元：$dW=mgh=\rho ghV(\rho =\frac{m}{V})=\rho ghS(x)dx$ (h 为将该微元体积的水抽到容器口的位移)

​ $W={\int }_1^3\rho g\pi (3-y)(4y-y^2)dy+{\int }_{-2}^1\rho g\pi (4-y^2)(3-y)dy$

import numpy as np
from  sympy import *
#注意积分只是一半的体积（x负半轴也要考虑）
res=integrate((4-y**2),(y,-2,1))+integrate((4-(y-1)**2),(y,1,3))*np.pi/2*2
print("容器的体积为：",res)#25.7551608191456
exp1=12*y-3*y**2-4*y**2+y**3
exp2=(4-y**2)*(3-y)
res1=(integrate(exp2,(y,-2,1))+integrate(exp1,(y,1,3)))*10**3*9.8*np.pi
print('做功为：%eJ'%res1)#科学计数法 1.126313e+06 J（焦耳）

• 3.15 （1）一架重$5000kg$的飞机以$800km/h$的航速开始着陆，在减速伞的作用下滑行$500m$后减速为$100km/h$.设减速伞的阻力与飞机的速度成正比，并忽略飞机所受的其他外力，试计算减速伞的阻力系数

• $f=kv=-ma,-a=\frac{k}{m}v=\frac{dv}{dx}\times \frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx},dx=\frac{m}{k}dv,\frac{m}{k}{\int }_{v_0}^{v_1}dv=-x(位移)$

​ （2）将同样的减速伞配备在$8000kg$的飞机上，现已知机场跑道长度为$1200m$，若飞机着陆速度为$600km/h$，问跑道长度是否能否保障飞机安全着陆

from  sympy import *
#求积分
v=symbols('v')
k=(5000*integrate(1,(v,800,100))/3.6)/(-500)#统一为国际单位
print('阻力系数f={}'.format(k))#阻力系数f=1944.44444444444
#反推：求末速度=0时的位移
M=8000
x=-(M/k)*(0-600)/3.6
print(x)#685.714285714286<1200 可以安全着陆

• 3.16 求函数$f(x_1,x_2)=100(x_2-x_1^2{)}^2+(1-\sin (x_1){)}^2\cos (x_2)$ 的局部极小点.

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
f=lambda x:100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-np.sin(x[1]))**2*np.cos(x[1])
x0=minimize(f,[0,0])
print('函数的局部极小点={0},极小值为{1}'.format(x0.x,x0.fun))
#结果：

函数的局部极小点=[2.99920288e-08 9.94829962e-03],极小值为0.9900510566055519