程序员面试金典 - 面试题 10.09. 排序矩阵查找

题目难度: 中等

原题链接

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题目描述

给定 M×N 矩阵，每一行、每一列都按升序排列，请编写代码找出某元素。

示例:

• 现有矩阵 matrix 如下：

[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

• 给定 target = 5，返回  true。
• 给定 target = 20，返回  false。

题目思考

1. 如何充分利用两个递增条件?

解决方案

思路

• 相信大家都不难想出暴力遍历所有数字和二分查找每行的方法, 前者时间复杂度为 O(RC), 后者有所优化, 达到了 O(RlogC). (R 和 C 分别代表行和列的数目)
• 而即使是上面的二分查找, 也只用到了行或列递增的单一条件, 没有把两个递增条件同时用上, 我们如何进一步优化, 同时用上这两个条件呢?
• 回顾两个递增性质, 假设当前我们遍历到的下标为(r,c), 那么它和 target 的关系可以分为下面三种情况:
  1. 值等于 target, 直接返回 true 即可
  2. 值小于 target, 那么以该点为右下角的左上矩形中的所有值都必然小于 target, 可以安全被排除, 而其余部分则说不好
  3. 值大于 target, 正好与上面相反, 以该点为左上角端点的右下矩形都可以被排除
• 重点关注上面的两个排除关系, 我们如果可以从某个起点开始, 一次排除一片区域, 然后朝一个方向继续线性遍历, 这样很快就能排查完整个矩阵
• 而为了满足线性遍历的条件, 起点的可选值只能是左下角或者右上角, 这里以左下角起点为例, 我们可以通过递推来得出结论:
  • 如果初始值小于 target, 因为下边没元素, 所以只能向右不能向下;
  • 如果初始值大于 target, 因为左边没元素, 所以只能向上不能向左;
  • 如果第一步操作是向右, 那么第二个值如果小于 target, 还只能向右, 因为下边仍然没元素; 而如果大于 target, 还只能向上, 因为左边的整列都已经在上一次被排除掉了, 结果不可能存在于左边
  • 而如果第一步操作是向上, 按照同样的分析, 仍然可得还是只能向右或者向上继续遍历
• 以此类推, 每次都是要么向右, 要么向上, 就能排查完矩阵所有的数字得出结果, 最终复杂度优化到了O(R+C)

复杂度

• 时间复杂度 O(R+C): 循环每次要么行号-1, 要么列号+1, 最多只用循环 R+C 次
• 空间复杂度 O(1): 只使用了几个常数空间的变量

代码

class Solution:
    def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
        # 左下角开始+每次排除一行或一列
        if not matrix:
            return False
        rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
        # 起点为左下角
        r, c = rows - 1, 0
        while r >= 0 and c < cols:
            if matrix[r][c] > target:
                # 大于target, 向上
                r -= 1
            elif matrix[r][c] < target:
                # 小于target, 向右
                c += 1
            else:
                # 找到target, 返回True
                return True
        # 遍历整个矩阵都找不到, 返回False
        return False

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