python实现lagrange插值法

在文章最后可复制代码,已封装直接调用即可。

一、引言

python实现lagrange插值法_第1张图片

二、历史发展

python实现lagrange插值法_第2张图片

三、内容总结

3.1 多项式插值问题

python实现lagrange插值法_第3张图片

3.2 基函数

python实现lagrange插值法_第4张图片

3.3 拉格朗日插值多项式

python实现lagrange插值法_第5张图片

3.4 插值余项

python实现lagrange插值法_第6张图片

四、代码复现部分讲解

这里给出了每步骤的复现与例题验证,读者也可自己进行编写,加深理解。在后文也给出完整代码,可直接拿去使用。

4.1 求解拉格朗日基函数

python实现lagrange插值法_第7张图片

4.2 基于拉格朗日算法拟合所需要的插值节点

python实现lagrange插值法_第8张图片

4.3 可视化拟合效果

python实现lagrange插值法_第9张图片

4.4 更新数值和重新选择算法

可在后续添加其余计算算法,进行选择。
python实现lagrange插值法_第10张图片

五、数据验证

5.1 用过点(-1,-1),(1,0),(3,-6) ,(4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式) 求x=0, x=2, x=5的近似值。

python实现lagrange插值法_第11张图片

5.2 随机生成n次多项式,随机挑选N个点,并求出对应的近似值与误差。

① 随机构造n次多项式,并返回对应函数Y值
python实现lagrange插值法_第12张图片
② 构造5次多项式,且系数范围为[1-100]
在这里插入图片描述
③ 开始拟合并验证结果
在这里插入图片描述
python实现lagrange插值法_第13张图片

六 完整代码

6.1 lagrange算法

# 1.导入相关库
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np 

class Interpolation():
    def __init__(self,algorithm="lagrange"):
        self.algorithm = algorithm   # 选择算法
    
    
    def Nderivative(self,Y,N): # 递归获取函数Y的N阶导数
        if N==0:return Y 
        Y = diff(Y,symbols("x"))
        if N==1:return Y
        return self.Nderivative(Y,N-1) 
    
    
    def get_hierarchy(self,n):# 递归获取n的阶层
        if n==1:return 1
        return n*self.get_hierarchy(n-1) 
        
    def Truncation_error_limit(self,Y,Xi):           # 误差限
        Y_Nderivative = self.Nderivative(Y,self.n+1) # 函数Y的n+1阶求导
        # max_Y_Nd = 获取函数n+1阶导数的最值
        hierarchy = self.get_hierarchy(self.n+1)          # 获取n+1的阶层 
        W = 1
        for Xj in self.X:W*=(Xi-Xj)
        xishu = W/hierarchy
        return str(xishu)+"*"+str(Y_Nderivative)
        
    # ---------------------------------    lagrange 插值法 ------------------------------
    def lagrange_ln_fun(self,k,predict_x):  # 基函数
        molecule,denominator = 1,1          # 分子分母
        for i in range(self.n+1):
            if i!=k:
                molecule    = molecule*(predict_x-self.X[i])
                denominator = denominator*(self.X[k]-self.X[i])
        return molecule/denominator
    
    
    def lagrange_operation(self):  
        for predict_x in self.predict_X: # 计算每个插值的单个数据
            Ln_fun = 0                   # 拉格朗日插值多项式,返回单个数据的插值
            for k in range(self.n+1): 
                Ln_fun += self.Y[k]*self.lagrange_ln_fun(k,predict_x)
            self.predict_Y.append(Ln_fun)
        return self.predict_Y
    
    
    def lagrange_prepare_data(self,X,Y,predict_X):
        # 更新X,Y,predict_X数组
        if len(X):
            self.X , self.n = X , len(X)-1 # n次项式
        if len(Y):self.Y = Y
        if len(predict_X):
            self.predict_X , self.predict_Y = predict_X , []  
                                                # 此时要插值的值也是要更新的
        return self.lagrange_operation()
    
    # ------------------------------可视化:仅限于单维度---------------------------------
    def plot_Fitting_effect(self):
        
        
        real_X,real_Y = self.X,self.Y 
        xlim = np.linspace(min(self.X), max(self.X), num=int(3*len(self.X)), endpoint=True)
        plot_fit_Y = self.lagrange_prepare_data(self.X,self.Y,xlim)
        
        self.X = real_X # 将真正训练数据返回原位
        self.Y = real_Y # 将真正训练数据返回原位

        # Make the plot
        plt.plot(xlim, plot_fit_Y, linewidth=2,label=r"Fitting data",color="red")
        plt.plot(real_X,real_Y,"go--", linewidth=3,label=r"Real data")
        
        
        plt.xlabel(r"X-axis coordinates")
        plt.ylabel(r"Y-axis coordinates") 
        plt.title(r"plot_Fitting_effect")
        plt.legend(loc='lower left')
        plt.show()

    
    # ---------------------------------主函数 ---------------------------------------------
    def predict(self,X=[],Y=[],predict_X=[],algorithm="",plot=False):
        self.plot=plot
        if algorithm:self.algorithm = algorithm # 更新插值算法
            
        # ----------------------使用拉格朗日插值算法---------------------    
        if self.algorithm == "lagrange":
            value =  self.lagrange_prepare_data(X,Y,predict_X)
            if self.plot:self.plot_Fitting_effect()
            return value 
         # 传入初始数据: X,Y都是1维数组
        # predict_X为预测数组,即插值数据数组
        # algorithm为选择算法

            
        '''pass,后续更新其余算法''' 

6.2 案例代码

import random 

'''随机生成n次多项式函数'''
def get_polynomial_function(Number_range,N):
    coefficient ,string= [],""
    for i in range(N):
        coefficient.append(random.randint(1,Number_range))
        string += str(coefficient[-1])+"*x^{}+".format(i)
    return coefficient,string[:-1]

'''传入多项式系数与X值,返回函数Y值'''
def calculation(coefficient,x):
    return sum([coef*x**n  for n,coef in enumerate(coefficient)])



coefficient,string = get_polynomial_function(100,5)  # 构造5次多项式,且系数为【1-100】 
X      = [number for number in range(10,31)]        # 构造节点X=[10,30],用于训练朗格朗日插值法
coefficients = [coefficient for i in range(len(X))] # 系数列表
Y = list(map(calculation,coefficients,X))            # 获取变量X对应多项式Y的真实值

model      = Interpolation()                          # 读取封装好类
predict_X  = [8,11.25,15.85,18.86,35.75]              # 训练后预测f(predict_X)
predict_Y  = model.predict(X,Y,predict_X,plot=True)  # 调用朗格朗日插值法
predictX_Y = list(map(calculation,coefficients,predict_X ))    # 获取变量待预测值对应多项式Y的真实值
                        
print("多项式函数: ",string)
data = pd.DataFrame()
data["X"] = predict_X
data[ 'lagrange_Fit'] = predict_Y
data['Y'] = predictX_Y
data["error"] = [predict_Y[i]-predictX_Y[i] for i in range(len(predict_X))] 
data 

七 总结

算法是一个插值算法的实现,目前只包含了拉格朗日插值算法。代码总结为以下几个部分:

  1. 导入相关库:导入matplotlib和sympy库,用于绘图和符号计算。
  2. Interpolation类的定义:包含了初始化函数和各种方法。
  3. Nderivative方法:递归获取函数Y的N阶导数。
  4. get_hierarchy方法:递归获取n的阶层。
  5. Truncation_error_limit方法:计算误差限。
  6. lagrange_ln_fun方法:计算拉格朗日插值基函数。
  7. lagrange_operation方法:使用拉格朗日插值法进行插值操作。
  8. lagrange_prepare_data方法:准备插值所需的数据。
  9. predict方法:根据给定的算法进行插值预测。
  10. plot_Fitting_effect方法:可视化拟合效果。
  11. 主函数部分:根据选择的算法调用相应的方法进行插值预测。

本代码实现了插值算法的一个类Interpolation,目前包括拉格朗日插值法的实现。通过该类可以进行插值预测,并可选择是否进行可视化展示。具体功能包括:

  1. 递归获取函数的高阶导数。
  2. 计算阶层和误差限。
  3. 使用拉格朗日插值法进行插值操作。
  4. 准备插值所需的数据。
  5. 进行插值预测,并可选择是否进行可视化展示。

该代码可以用于对一维数据进行插值分析,例如根据给定的数据点,通过拉格朗日插值法预测其他数据点的值。你可以根据需要扩展其他插值算法的实现。

这是课程数值分析的作业,可能写的有些简陋,希望对读者能够有一些帮助。

你可能感兴趣的:(python,开发语言)