AtCoder ABC238 题解

个人评论

昨天的 ABC 直接吧我打懵了，数学题多。
后面的两题到现在还是不会。

竞赛地址

https://atcoder.jp/contests/abc238/tasks。

A - Exponential or Quadratic

https://atcoder.jp/contests/abc238/tasks/abc238_a。

简易题解

给一个 $n$，问是指数函数（$2^n$）和一个平方函数（$n^2$）数据大。
如果本题 $n$ 比较小，我们可以直接计算出结果然后比较。但是本题 $n$ 非常大，达到 $10^9$，因此直接计算是不现实的。
数学上，我们知道随着 $n$ 变大，指数函数结果肯定大于平方函数结果。
因此，我们只需要简单分类讨论一下就可以了。

• 当 $n=1$ 时候，$2^1=2$，$1^2=1$，因此指数函数大。
• 当 $n=2$ 时候，$2^2=4$，$2^2=4$，因此一样大。
• 当 $n=3$ 时候，$2^3=8$，$3^2=9$，因此平方函数大。
• 当 $n=4$时候，$2^4=16$，$4^2=16$，因此一样大。
• 当 $n=5$ 时候，$2^5=32$，$5^2=25$，因此指数函数大。
• …
  这样我们可以得出结论。

AC 代码

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
 
    LL n;
    cin>>n;
    if (2<=n && n<=4) {
        cout<<"No\n";
    } else {
        cout<<"Yes\n";
    }
    return 0;
}

B - Pizza

https://atcoder.jp/contests/abc238/tasks/abc238_b。

简易题解

简单的数学题。难度在于读题，英文比较菜，读了好久才读懂题目的意思。
给你 $n$ 个切披萨的角度，问得到所有切割角度中，最大角是多少。
根据题面：rotating the pizza clockwise by $D$ degrees and making another cut，就是将披萨进行循环。我们可以看成将刀进行旋转，这样我们只要将切割的角度进行累加。不要忘记披萨是一个圆，只有 $360$ 度，我们需要对 $360$ 取模。
假设有 $N$ 个切割角度，分别为 $A_1,A_2,\dots ,A_N$。

• 第 $1$ 次切割，角度为 $0$。
• 第 $2$ 次切割，角度为 $(0+A_1)\%360$。
• 第 $3$ 次切割，角度为 $(0+A_1+A_2)\%360$。
• 第 $4$ 次切割，角度为 $(0+A_1+A_2+A_3)\%360$。
• …
  这样我们得到 $n+1$ 个角，找到这 $n+1$ 角度的最大值就是答案。

AC代码

标志法

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
const int N=360;
bool d[N];//false没有切割，true切割

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    LL n;
    cin>>n;
    d[0]=true;//0度切割了

    LL sum=0;
    for (LL i=1; i<=n; i++) {
        LL x;
        cin>>x;
        sum=(sum+x)%360;
        d[sum]=true;
    }

    //找连续的切割的最大角度
    LL res=0;
    LL cur=0;
    for (LL i=0; i<=360; i++) {
        if (d[i%360]) {
            res=max(res, cur);
            cur=0;
        }
        cur++;
    }

    cout<<res<<"\n";

    return 0;
}

构造答案法

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
const int N=360;
LL ans[N];
bool d[N];//false没有切割，true切割

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    LL n;
    cin>>n;

    LL sum=0;
    LL cnt=0;
    ans[++cnt]=0;
    for (LL i=1; i<=n; i++) {
        LL x;
        cin>>x;
        sum=(sum+x)%360;
        ans[++cnt]=sum;//送入答案数组
    }
    ans[++cnt]=360;
    sort(ans+1, ans+cnt+1);

    //找连续的切割的最大角度
    LL res=0;
    for (LL i=2; i<=cnt; i++) {
        res=max(res, ans[i]-ans[i-1]);
    }
    cout<<res<<"\n";

    return 0;
}

C - digitnum

https://atcoder.jp/contests/abc238/tasks/abc238_c。

简易题解

给定一个函数 $f(x)$，表示数位数量与 $x$ 相同而且数据不超过 $x$ 的正整数数量。给定一个 $n$，求 $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)$ 的值，数据对 $998244353$ 取模。
首先。我们先看 $n$ 的大小。本题 $n$ 为 $10^{18}$，我们没有办法根据 $f(x)$ 的定义直接暴力计算。但是我们要注意到 $f(x)$ 的定义关键数位，也就是说 $10^{18}$ 的数位只有 $18$ 位。
其次。我们来分析一下 $f(x)$ 的属性。那就是找规律了。

• 当 $x=1$ 的时候，满足条件的数据只有 $1$，也就是 $f(1)=1$。
• 当 $x=2$ 的时候，满足条件的数据只有 $1,2$，也就是 $f(2)=2$。
• …
• 当 $x=9$ 的时候，满足条件的数据只有 $1,2,\dots ,9$，也就是 $f(9)=9$。
• 当 $x=10$ 的时候，满足条件的数据只有 $10$，也就是 $f(10)=1$。
• 当 $x=11$ 的时候，满足条件的数据只有 $10,11$，也就是 $f(11)=2$。
• …
• 当 $x=99$ 的时候，满足条件的数据只有 $10,11,\dots ,99$，也就是 $f(99)=99-10+1=90$。
• 当 $x=100$ 的时候，满足条件的数据只有 $100$，也就是 $f(100)=1$。
• 当 $x=101$ 的时候，满足条件的数据只有 $100,101$，也就是 $f(101)=2$。
• …
• 当 $x=999$ 的时候，满足条件的数据只有 $100,101,\dots ,999$，也就是 $f(99)=999-100+1=900$。
• …

那么 $f(1)+f(2)+...f(n)$，我们可以根据位数分类讨论。

• 一位数。$f(1)+f(2)+...+f(9)=1+2+...+9$。
• 二位数。$f(10)+f(11)+...+f(99)=1+2+...+90$。
• 三位数。$f(100)+f(101)+...+f(999)=1+2+...+900$。
• 依次类图。

这样，本题根据 $n$ 的数据范围，最多分为 $18$ 类进行计算。
至于 $f(x)$ 的累加，我们可以利用等差数列求和公式计算。

AC 代码

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;

const LL MOD=998244353;

//计算1+2+...+x
LL calc(LL x) {
    x%=MOD;
    LL res=x;
    res=(res*(res+1)/2)%MOD;
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    LL n;
    cin>>n;

    LL ans=0;
    LL p10=10;
    for (LL i=1; i<=18; i++) {
        LL l=p10/10;//起点
        LL r=min(n, p10-1);//终点
        if (l<=r) {
            //cout<<"calc "<
            ans=(ans+calc(r-l+1))%MOD;
        } else {
            break;
        }
        p10*=10;
    }

    cout<<ans<<"\n";

    return 0;
}

D - AND and SUM

https://atcoder.jp/contests/abc238/tasks/abc238_d。

简易题解

本题涉及到按位与运算。根据按位与的真值表，全 $1$ 得 $1$。
根据题目可得：
$$x+y=s,x\text{and}y=a$$。
根据位运算特性，可以得知，当且仅当 $s\ge 2\ast a$，才有可能是 Yes。

AC 代码

#include 
using namespace std;
using LL=long long;
using PLL=pair<LL, LL>;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    LL T;
    cin>>T;
    while (T--) {
        LL a,s;
        cin>>a>>s;
        if (2*a<=s) {
            LL t=s-2*a;
            if ((t&a)==0) {
                cout<<"Yes\n";
                continue;
            }
        }
        cout<<"No\n";
    }

    return 0;
}

E - Range Sums

https://atcoder.jp/contests/abc238/tasks/abc238_e。

简单题解

每次读入两个数据 $l,r$，最后问你所有数据是否包含 $0$ 到 $n$。
本题用区间合并，DFS等方法都可以实现。
个人认为最简单的方法就是并查集。
看到包含，我们就可以使用并查集来完成。注意我们需要从 $[l-1,r]$ 进行合并。合并完成后，我们查看一下 $0$ 和 $n$ 是否在同一个集合即可。
当然本题也可以区间合并来解决。

AC代码

#include 
using namespace std;
using LL=long long;
using PLL=pair<LL, LL>;

//DSU
const int N=2e5+10;
LL fa[N];
void init(LL n) {
    for (LL i=0; i<=n; i++) {
        fa[i]=i;
    }
}

LL find_root(LL x) {
    if (fa[x]!=x) {
        fa[x]=find_root(fa[x]);
    }
    return fa[x];
}

bool union_set(LL x, LL y) {
    x=find_root(x);
    y=find_root(y);
    if (x==y) {
        return false;
    }
    fa[y]=x;
    return true;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    LL n,q;
    cin>>n>>q;
    init(n);//初始化并查集
    while (q--) {
        LL l,r;
        cin>>l>>r;
        union_set(l-1, r);
    }

    if (find_root(0)==find_root(n)) {
        cout<<"Yes\n";
    } else {
        cout<<"No\n";
    }

    return 0;
}

F - Two Exams

暂时不会。

G - Cubic?

暂时也不会。