蓝桥杯每日一真题——[蓝桥杯 2014 省 A] 波动数列（数学转化，dp）

[蓝桥杯 2014 省 A] 波动数列

题目描述

观察这个数列：

$1,3,0,2,-1,1,-2,\cdots$。

这个数列中后一项总是比前一项增加 $2$ 或者减少 $3$。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 $n$ 和为 $s$ 而且后一项总是比前一项增加 $a$ 或者减少 $b$ 的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

输入的第一行包含四个整数 $n,s,a,b$，含义如前面说述。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以 $100000007$ 的余数。

样例 #1

样例输入 #1

4 10 2 3

样例输出 #1

2

提示

【样例说明】

这两个数列分别是 2 4 1 3 和 7 4 1 -2。

【数据规模与约定】

对于 $10\%$ 的数据，$1\le n\le 5$，$0\le s\le 5$，$1\le a,b\le 5$；

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 30$，$0\le s\le 30$，$1\le a,b\le 30$；

对于 $50\%$ 的数据，$1\le n\le 50$，$0\le s\le 50$，$1\le a,b\le 50$；

对于 $70\%$ 的数据，$1\le n\le 100$，$0\le s\le 500$，$1\le a,b\le 50$；

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 1000$，$-10^9\le s\le 10^9$，$1\le a,b\le 10^6$。

时限 1 秒, 256M。蓝桥杯 2014 年第五届省赛

思路

首先我们要知道这个题的问题问的是什么，问的是和为S的有多少种情况是成立的有两种情况 一种是+a一种是减b。

那下一步我们就要把这个和S给表示出来，怎么表示这个S呢，其实很简单
如果把+a和-b看成一种操作 T 那么这种操作一共有N种如果+a有Na种那么-b就有N-Na种；

那S如果要表达出来是什么呢？

那T操作可能是+a或者是-b那显然，T操作一共可能是1+2+…+n-1的和：就是一个等差数列。

显然T操作会出现n*(n-1)/2次。

如果设+a会出现na次那-b就会出现n*(n-1)/2-na次（根据等差数列求和公式）

那S也可以简化为
可以看到上式子S与X有关，可以转变为有多少种的X可以等于S。
那我们可以看到 na 也是一个不确定的量，那可以用dp来解决，设dp[i][j]表示用1~n-1选择前i个数使其和为j的方案数，这样我们就能确定不同的na有多少方案来组成他。
可以得到状态转移方程为
dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i] (可以选可以不选)
使用滚动数组可以压缩为：
dp[j] = (dp[j] + dp[j-i])%MOD;
那么我们的dp如下：

    dp[0] = 1;
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        for (int j=i*(i+1)/2;j>=i;j--)
        {
            dp[j] = (dp[j] + dp[j-i])%MOD;
        }
    }

这样我们就得到了和为na的方案数

na的方案数有了，na每个方案数的和我们也知道了，那么循环na就可以解方程了
循环na就能解方程了0到n*(n-1)/2

下面我们用y表示的na

   int ans = 0;

    for (int y=0; y<=temp; y++)
    {
        long long tt =s+b*temp-(a+b)*y;
        if (tt%n==0)//方程有结果
        {
            ans = (ans + dp[y])%MOD;//就加上方案数
        }
    }

---

全部代码：

#include 

const int maxn 1000010;
const int MOD 100000007;

int dp[maxn];
int main()
{
    long long n,s,a,b;
    cin>>n>>s>>a>>b;
    int temp = n*(n-1)/2;
    dp[0] = 1;
    int i,j;
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        for (j=i*(i+1)/2;j>=i;j--)
        {
            dp[j] = (dp[j] + dp[j-i])%MOD;
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int y=0; y<=temp; y++)
    {
        long long tt =s+b*temp-(a+b)*y;
        if (tt%n==0)
        {
            ans = (ans + dp[y])%MOD;
        }
    }
   cout<<ans;
    return 0;
}

总结：

要注意题目问题的转换什么不变什么变，不要那道问题直接就出结果，过程可能也是用dp的关键，注意问题的深入和转化