笛卡尔树学习笔记

Part 0. 闲话

nz 好闪，拜谢 nz

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Part 1. 什么是笛卡尔树

定义：笛卡尔树是一种二叉树，每个节点有两个值 $(x_i,y_i)$。

特点：

1. 如果只考虑 $x_i$ ，那么笛卡尔树是一棵 二叉搜索树

2. 如果只考虑 $y_i$ ，那么笛卡尔树是一个 小根堆/大根堆 。

注：在后面的题目中，每个节点表示为$(i,a_i)$ ， 即编号和对应的值。

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Part 2. 如何建一棵笛卡尔树

我们可以根据定义和性质来建树。

具体地，先来考虑 $x_i$ ，为了满足二叉搜索树的性质，我们会把新插入的节点放得尽可能靠右。所以我们实际上就是要维护一个从左上到右下的链。因此，在保证 $x_i$ 递增的情况下，构造的时间复杂度是线性的。

以小根堆为例，我们设当前要插入的点为 $u$，从后往前找到第一个小于等于 $u_y$ 的点 $v$。下面分情况讨论：

1. $v$ 无右子树，则将 $u$ 添加到 $v$ 的右子树上。
2. $v$ 有右子树，则将 $v$ 的右子树添加到 $u$ 的左子树，再将 $u$ 添加到 $v$ 的右子树。

特别的，如果 $u$ 是最小的，那么将 $u$ 设为根节点，其他节点放到 $u$ 的左子树上。

时间复杂度 $\Theta (n)$

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Part 3. 另一种做法

N_z_ 给出了一种带 $\log$ 的做法：最小值是根，左子树，右子树分别是 左半边，右半边 递归完成！

但可能会 $\text{TLE}$

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Part 4. 代码实现

模板：洛谷 P5854

注意：时限 $\text{500ms}$

$\Theta (n)$ 做法：

#include 

using namespace std;

#define int long long
#define p 998244353
#define maxn 10000100

int a[maxn];
int st[maxn];
int ls[maxn],rs[maxn];

inline long long read()//快读
{
	long long x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}

inline void write(long long x)//快输
{
	if(x<0)
	{
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if(x>9)	write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int n;n=read();
	int top(0);//卡常
	for (int i(1);i<=n;++i)
	{
		a[i]=read();
		int cnt=top;
		while (cnt&&a[st[cnt]]>a[i]) --cnt;//模仿单调栈，找第一个小于等于要插入节点的点
		if(cnt) rs[st[cnt]]=i;//直接插入
		if(cnt<top) ls[i]=st[cnt+1];//移一下
		st[++cnt]=i;
		top=cnt;
	}	
	int l(0),r(0);
	for (int i(1);i<=n;++i)
	{
		l^= i * (ls[i] + 1);//按题目要求来
		r^= i * (rs[i] + 1);
	}
	write(l);
	putchar(' ');
	write(r);
	return 0;
}

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Part 5. 参考文献

1. P5854
2. 种树：二叉树、二叉搜索树、AVL树、红黑树、哈夫曼树、B树、树与森林

Part 6. 特别鸣谢

1. @N_z_
2. @linziyang1