1-1 算法 - 最大连续子数组和

一、 问题描述

  给出一个一维数组，数组中的数有正有负，求该数组中连续元素之和最大值

二、暴力法

2.1 解题思路

  在数组中选一个位置i为起始位置，选一个位置j为终止位置，在i和j中选一个位置k，计算i到k位置元素的和，遍历i、j、k。

2.2 Python 代码

  代码没有考虑数据长度为0的情况，后面的代码也是。

def enumeration(data):
    m = data[0]
    for i in range(len(data)):
        for j in range(i+1, len(data)+1):
            temp = 0
            for k in range(i, j):
                temp += data[k]
                if temp > m:
                    m = temp
    return m

2.3 时间复杂度

  因为要遍历i、j、k，所以时间复杂度为

三、分治法

  暴力法是一种很直接的方法，直接循环进行遍历，但是这种方法在笔试时肯定不符合要求，因为时间复杂度太高。而分治法可以有效降低时间复杂度，其思想是将大问题拆分成若干个小问题，然后依次解决。

3.1 解题思路

  将数组从中间分成两段，此时最大连续子数组要么落在左半段，要么落在右半段，要么横跨中间的分界点。因此，可以设计程序计算左半端最大和，计算右半段最大和，计算横跨分界点的最大和，然后找出三者的最大值，即为最大连续子数组和。
  首先计算横跨分界点的最大和。当横跨中间的分界点时，子数组左半端一定是从分界点开始往左连续，并且和是最大的。右半段同理。因此可以令m1=分界点开始往左连续最大和，m2=分界点开始往右连续最大和，m3 = m1 + m2，m3即为横跨分界点的最大和。
  然后计算左半端最大和。当然可以采用暴力法解决，但是显而易见，我们可以再次将左半端从中间分成两部分，然后下一步再从小左半端从中间分成两部分，一直循环下去，直到数组中只有一个元素为止。整个过程是一个递归的过程，计算右半段时同理。

3.2 Python代码

def divide_conquer(data):
    start = 0
    end = len(data)
    if len(data) == 1:    # 递归调用的结束
        return data[0]
    middle = int((end - start) / 2)
    max1 = divide_conquer(data[start: middle])  # 对左边计算最大值
    max2 = divide_conquer(data[middle: end])  # 对右边计算最大值

    left_temp = 0   # 计算从中间开始往左连续最大值
    left_max = data[middle - 1]
    for i in range(1, middle+1):
        left_temp += data[middle - i]
        if left_temp > left_max:
            left_max = left_temp
    
    right_temp = 0  # 计算从中间开始往右连续最大值
    right_max = data[middle]
    for i in range(0, end-middle):
        right_temp += data[middle + i]
        if right_temp > right_max:
            right_max = right_temp

    max3 = left_max + right_max

    return max(max1, max2, max3)

3.3 时间复杂度分析

  代码中包含三个计算过程：两个递归和一次遍历数据（从中间到两边），因此假设一维数组长度为的话，时间复杂度可以表示为：
  为计算方便，假设，则

  因此分治法的时间复杂度为

四、推理法

4.1 解题思路

  从前到后只遍历一遍数据，从第一个位置开始加和，用temp_sum表示。如果temp_sum小于0，则令temp_sum = 0，重新进行累加。因为temp_sum小于0时，会对后面的累加产生副作用。找最大连续子数组和的话 ，就是在上述遍历的过程中，保存temp_sum的最大值。

4.2 Python代码

def reasoning(data):
    temp_max = 0
    temp_sum = data[0]
    for i in range(1, len(data)):
        if temp_sum < 0:
            temp_sum = 0
        temp_sum1 = temp_sum + data[i]
        temp = max(temp_sum, temp_sum1)
        if temp > temp_max:
            temp_max = temp
        temp_sum = temp_sum1
    return temp_max

4.3 时间复杂度分析

  由于只遍历一遍数据，所以时间复杂度为

五、动态规划法

5.1 解题思路

  计算第i位置之前的最大子数组和，遍历i，取其中的最大值。

5.2 Python代码

def dynamic_planning(data):
    temp_max = data[0]
    temp_sum = data[0]
    for i in range(1, len(data)):
        temp_sum = max(temp_sum+data[i], data[i])
        if temp_sum > temp_max:
            temp_max = temp_sum
    return temp_max

5.3 时间复杂度分析

  由于只遍历一遍数据，所以时间复杂度为

六、时间对比

  随机产生500和50万个随机整数，测试结果如下：

1.png

2.png