高等数学——一元函数微分学

系列文章目录

• 高等数学——函数、极限和连续
• 高等数学——一元函数微分学
• 高等数学——一元函数积分学
• 高等数学——微分方程
• 高等数学——多元函数微分学
• 高等数学——二重积分

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版权声明

本文为作者的考研数学笔记，可能这是人生最后一次全面学习数学的机会，所以通过网络的形式留存一份易保存且易回顾的资料。不存在恶意抄袭，本文内容出自以下几个地方：

• 武钟祥老师考研教材
• 武钟祥老师考研视频课
• 科学出版社十二五规划教材高等数学
• 网络
• 个人理解

其中教材内容会以

引用

的形式出现。

名词解释

教材中存在着许多熟悉且陌生的词汇，作者在此进行了整理：

• 概念：概念是人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，是自我认知意识的一种表达，形成概念式思维惯性。
• 定义：定义是对一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明；或是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义。
• 公理：公理是不能也不需要被证明，被大家公认的直接可以使用的道理。
• 定理：定理是可以被证明而且已经通过其他公理和定理证明出来的道理。
• 性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征。

常用数学符号

• $\Rightarrow$：推出
• $\iff$：等价
• $\exists$：存在
• $\forall$：任意
• $\to$：趋向

常用希腊字符读音

• $\alpha$：/ælfə/
• $\beta$：/betə/
• $\Gamma$、$\gamma$：/gama/
• $\Delta$、$\delta$：/deltə/
• $\epsilon$：/epsilon/
• $\upsilon$：/apsilon/
• $\theta$：/θitə/
• $\pi$：/paɪ/
• $\eta$：/ita/
• $\Lambda$、$\lambda$：/læmdə/
• $\mu$：/mju/
• $\xi$：/ksi/
• $\Sigma$、$\sigma$：/sigmə/
• $\tau$：/taʊ/
• $\Phi$、$\phi$：/faɪ/
• $\psi$：/psi/
• $\Omega$、$\omega$：/omiga/
• $\rho$：/ru:/

初等数学相关知识

作者实在是太菜，因此把忘记的且用到的初等数学知识都整理了一下。

幂、根式和对数

• 幂运算：
  $$\begin{gathered} a^m{a}^n=a^{m+n} \\ {a}^m÷a^n=a^{m-n} \\ (a^m{)}^n=a^{mn} \\ (ab{)}^m=a^m{b}^m \\ (\frac{a}{b}{)}^m=\frac{a^m}{b^m} \\ {a}^{m+n}=a^m{a}^n \\ {a}^{-m}=\frac{1}{a^m}(m\in N^{+},a\ne 0) \\ {a}^{\frac{1}{m}}=\sqrt[m]{a}(当m为偶数时a\ge 0;m为奇数时a\in R) \end{gathered}$$
• 根式运算：
  $$\begin{gathered} {\sqrt{a}}^2=a \\ \sqrt{a^2}=|a| \\ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} \\ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{gathered}$$
• 对数运算：

$$\begin{gathered} alo{g}_{a}N=N \\ lo{g}_{a}MN=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N \\ lo{g}_a{N}^n=nlo{g}_{a}N \\ lo{g}_{a^m}N=\frac{1}{m}lo{g}_{a}N \\ lo{g}_{a}N=\frac{lo{g}_{c}N}{lo{g}_{c}a} \end{gathered}$$

常用的三角函数值

函数/角度	0	30	45	60	90
sin	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	-

三角函数变换

• 三角函数关系式：
  $$\begin{gathered} tanacota=1 \\ sinacsca=1 \\ cosaseca=1 \\ tana=\frac{sina}{cosa} \\ cota=\frac{cosa}{sina} \\ si{n}^a+co{s}^a=1 \\ 1+ta{n}^{2}a=se{c}^{2}a \\ 1+co{t}^{2}a=cs{c}^{2}a \end{gathered}$$
• 诱导公式：

角\函数	$sin$	$cos$	$tan$	$cot$
$-a$	$-sina$	$cosa$	$-tana$	$-cota$
$\frac{\pi }{2}-a$	$cosa$	$sina$	$cota$	$tana$
$\frac{\pi }{2}+a$	$cosa$	$-sina$	$-cota$	$-tana$
$\pi -a$	$sina$	$-cosa$	$-tana$	$-cota$
$\pi +a$	$-sina$	$-cosa$	$tana$	$cota$
$\frac{3\pi }{4}-a$	$-cosa$	$-sina$	$cota$	$tana$
$\frac{3\pi }{4}+a$	$-cosa$	$sina$	$-cota$	$-tana$
$\pi -a$	$-sina$	$cosa$	$-tana$	$-cota$
$\pi +a$	$sina$	$cosa$	$tana$	$cota$

• 和差角公式：
  $$\begin{gathered} sin(a\pm b)=sinacosb\pm cosasinb \\ cos(a+b)=cosacosb\mp sinasinb \\ tan(a\pm b)=\frac{tana\pm tanb}{1\mp tanatanb} \\ cot(a\pm b)=\frac{cotacotb\mp 1}{cotb\pm cota} \end{gathered}$$

• 和差化积公式：
  $$\begin{gathered} sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2} \\ sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2} \\ cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2} \\ cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2} \end{gathered}$$

• 积化和差公式：
  $$\begin{gathered} sinasinb=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)] \\ cosacosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)] \\ sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)] \\ cosasinb=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b)] \end{gathered}$$

• 倍角公式：
  $$\begin{gathered} sin2a=2sinacosa \\ sin3a=3sina-4si{n}^{3}a \\ cos2a=2co{s}^{2}a-1=1-2si{n}^{2}a=co{s}^{2}a-si{n}^{2}a \\ cos3a=4co{s}^{3}a-3cosa \\ cot2a=\frac{co{t}^{2}a-1}{2cota} \\ tan2a=\frac{2tana}{1-ta{n}^{2}a} \end{gathered}$$

• 半角公式：
  $$\begin{gathered} sin\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosa}{2}} \\ cos\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosa}{2}} \\ tan\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosa}{1+cosa}}=\frac{1-cosa}{sina}=\frac{sina}{1+cosa} \\ cot\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosa}{1-cosa}}=\frac{1+cosa}{sina}=\frac{sina}{1-cosa} \end{gathered}$$

• 万能公式：
  $$\begin{gathered} sina=\frac{2tan\frac{a}{2}}{1+ta{n}^2\frac{a}{2}} \\ cosa=\frac{1-ta{n}^2\frac{a}{2}}{1+ta{n}^2\frac{a}{2}} \\ tana=\frac{2tan\frac{a}{2}}{1-ta{n}^2\frac{a}{2}} \end{gathered}$$

• 其它公式：
  $$\begin{gathered} asina+bcosa=\sqrt{a^2+b^2}sin(a+c),其中tanc=\frac{b}{a} \\ asina-bcosa=\sqrt{a^2+b^2}cos(a-c),其中tanc=\frac{a}{b} \\ 1+sina=(sin\frac{a}{2}+cos\frac{a}{2}{)}^2 \\ 1-sina=(sin\frac{a}{2}-cos\frac{a}{2}{)}^2 \end{gathered}$$

一元二次方程求解

充分条件和必要条件

• 充分条件：由前一个条件推出后一个条件。
• 必要条件：由后一个条件推出前一个条件。
• 充要条件：前一个条件能推出后一个条件，后一个条件也能推出前一个条件。

切线方程、斜率和法线

• 切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。
• 斜率：表示直线关于坐标轴倾斜程度的量。通常用直线与横坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。
  • $k=tan\theta$
  • $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
• 法线：法线就是垂直于切线的线。
• 函数在某一点的切线斜率乘法线斜率等于负一。
• 已知直线方程求斜率：$ax+by+c=0\Rightarrow k=-\frac{a}{b}$
• 已知斜率和一点求直线：$y-y_0＝k(x-x_0)$

隐函数

如果方程$F(x,y)=0$能确定$y$是$x$的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量$x、y$，对于某一范围内的$x$的每一个值，$y$都有确定的值和它对应，$y$就是$x$的函数。这种关系一般用$y=f(x)$即显函数来表示。$F(x,y)=0$即隐函数是相对于显函数来说的。

极坐标

• 极坐标：极坐标是指在平面内取一个定点$O$，叫极点，引一条射线$Ox$，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点$M$，用$\rho$表示线段$OM$的长度，$\theta$表示从$Ox$到$OM$的角度，$\rho$叫做点$M$的极径，$\theta$叫做点$M$的极角，有序数对 $(\rho ,\theta )$就叫点$M$的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
• 参数方程：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x、y$都是某个变数$t$的函数，并且对于$t$的每一个允许的取值，由方程组确定的点$(x,y)$都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数$x、y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程即称为普通方程。
• 极坐标和直角坐标的相互转换：
  • $x=\rho cos\theta$
  • $y=\rho sin\theta$
  • $tan\theta =\frac{y}{x}$

参数方程

导数

导数用来研究函数在某一点的变化率。

导数定义：设函数$y=f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义：

如果极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在，则称$f(x)$在点$x_0$处可导，并称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$$f^{\prime }(x_0)或y^{\prime }{|}_{x=x_0}或\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$$
如果左极限$$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在，则称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的左导数，记为$$f_{-}^{\prime }(x_0)$$
如果右极限$$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在，则称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的右导数，记为$$f_{+}^{\prime }(x_0)$$

定理：$f^{\prime }(x_0)\iff f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}(x_0)$

区间可导定义：若$f(x)$在区间$(a，b)$内每点都可导，则称$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，此时对于$(a,b)$内的每一点$x$都对应一个导数值$f^{\prime }(x)$，常称$f^{\prime }(x)$为$f(x)$在$(a,b)$内的导函数。如果$f(x)$在$x=a$处有右导数，在$x=b$处有左导数，则称$f(x)$在$[a,b]$上可导。
几何意义：导数$f^{\prime }(x)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。
高阶导数定义：如果导函数$f^{\prime }(x)$作为$x$的函数在点$x$可导，则称$f^{\prime }(x)$的导数为函数$f(x)$的二阶导数，记为$$f^{\prime \prime }(x)或\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$$一般的，函数$f(x)$的n阶导数为$f^{(n)}()=f^{(n-1)}(x)$，即$n$阶导数就是$n-1$阶导函数的导数。

微分

微分用来表示函数改变量的近似值。

微分的定义：设函数$y=f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，如果函数的增量$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$可以表示为$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$$其中A为不依赖于$\Delta x$的常数，则称$f(x)$在点$x_0$处可微，称$A\Delta x$为函数$f(x)$在点$x_0$处相应于自变增量$\Delta x$的微分，记为$$dy=A\Delta x$$函数$y=f(x)$在$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$$
几何意义：微分$dy=f^{\prime }(x_0)dx$在几何上表示曲线$y=f(x)$的切线上的增量，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$上的增量，当$\Delta x\to 0$时，$\Delta y\approx dy$。

微分中值定理

微分中值定理用于建立函数和导数的联系。

函数和$1$阶导数的关系：

费马引理：设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，那么$f^{\prime }(x_0)=0$。
罗尔定理：如果$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，$f(a)=f(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。
拉格朗日中值定理：如果$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$。
柯西中值定理：如果$f(x),F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F^{\prime }(x)$在$(a,b)$内每一点处均不为零，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$。

函数和$n$阶导数的关系：

皮亚诺型余项泰勒公式（局部泰勒公式，在$x_0$临近处代替误差小）：如果$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数，则$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_n)(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$常称$R_n(x)=o[(x-x_0{)}^n](x\to x_0)$为皮亚诺型余项，若$x_0=0$，则得麦克劳林公式：$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n+o(x^n)$$
拉格朗日型余项泰勒公式（整体泰勒公式，在一个大的范围内代替误差小）：设函数$f(x)$在含有$x_0$的开区间$(a,b)$内有$n+1$阶导数，则当$x\in (a,b)$时有$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_n)(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}(\xi 介于x_0与x之间)$，称为拉格朗日余项。

求导

基本初等函数的导数公式

• $(C{)}^{\prime }=0$
• $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$
• $(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$
• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• $(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$
• $(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• $(sinx{)}^{\prime }=cosx$
• $(cosx{)}^{\prime }=-sinx$
• $(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$
• $(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$
• $(secx{)}^{\prime }=secxtanx$
• $(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$
• $(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
• $(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

有理运算法则

• $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^{\prime }}(v\ne 0)$

对数求导法

如果$y=f(x)$的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数取对数，然后两边对$x$求导。

复合函数求导法

设$u=\phi (x),y=f(u)$可导，则$y=f[\phi (x)]$在x处可导，且$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x)$。

隐函数求导

设$y=f(x)$是由方程$F(x,y)=0$所确定的可导函数，为求得$y^{\prime }$，可在方程$F(x,y)=0$两边对x求导，可以得到一个含有$y^{\prime }$的方程，解出$y^{\prime }$即可。

反函数求导

若$y=f(x)$在某区间内可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数$x=\phi (y)$在对应区间内也可导，且${\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$，即$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$。

参数方程求导

设$y=f(x)$是由参方程$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}(\alpha <t<\beta )$确定的函数，则：

• 若$\phi (t)$和$\psi (t)$都可导，且${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，则$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{{\psi }^{\prime }(t)}$$
• 若$\phi (t)$和$\psi (t)$二阶可导，且${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，则$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\frac{d}{dt}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)})\times \frac{1}{\phi {(}^{\prime }t)}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)}{{\psi }^{\prime 3}(t)}$$

常用的高阶导数公式

• $(sinx{)}^{(n)}=sin(x+n\times \frac{\pi }{2})$
• $(cosx{)}^{(n)}=cos(x+n\times \frac{\pi }{2})$
• $(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
• $(uv{)}^{(n)}=$${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$

导数的应用

函数的单调性

定理：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导：

• 若在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调增。
• 若在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调减。

函数的极值和最值

极值定义：设$f(x)$在$U(x_0)$内有定义，若$\forall x\in \mathring{U}(x_0)$，恒有$f(x)\le f(x_0)$，则称$x_0$为$f(x)$的一个极大值点，称$f(x_0)$为$f(x)$的极大值，极大值极小值统称为极值，极大值极小值点统称为极值点。

定理：设$f(x)$在点$x_0$处可导，且$x_0$为$f(x)$的极值点，则$f^{\prime }(x_0)=0$。
定理：设$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内可导，且$f^{\prime }(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）：

• 若$x<x_0$时，$f^{\prime }(x)>0$；$x>x_0$时，$f^{\prime }(x)<0$，则$x_0$为$f(x)$的极大值点；
• 若$x<x_0$时，$f^{\prime }(x)<0$；$x>x_0$时，$f^{\prime }(x)>0$，则$x_0$为$f(x)$的极小值点；
• 若$f^{\prime }(x)$在$x_0$的两侧同号，则$x_0$不为$f(x)$的极值点。

定理：设$f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且$f^{\prime }(x_0)=0$：

• 若$f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则$x_0$为$f(x)$的极大值点；
• 若$f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则$x_0$为$f(x)$的极小值点；
• 若$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，则此方法不能判定$x_0$是否为极值点。

最值定义：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，$x_0\in [a,b]$，若对于任意$x\in [a,b]$，恒有$f(x)\le f(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数的$f(x)$在区间$[a,b]$最大值，称$x_0$为$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值点。

曲线的凹凸性

定义：设函数$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意两点$x_1,x_2$恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$I$上的图形是凹的；如果恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$I$上的图形是凸的。

对于凹曲线，当$x$逐渐增大时其上每一点切线的斜率是逐渐增加的，即导函数$f^{\prime }(x)$是单调增加的；对于凸曲线，当$x$逐渐增大时其上每一点切线的斜率是逐渐减少的，即导函数$f^{\prime }(x)$是单调减少的。于是有了以下判定函数凹凸性的定理：

定理：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内具有一阶导数和二阶导数，则：

• 若在$(a,b)$内$f^{\prime \prime }(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凹的。
• 若在$(a,b)$内$f^{\prime \prime }(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凸的。

连续曲线上左右两侧凹凸性发生变化的点称为曲线的拐点。

定理：若函数$f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线$f(x)$的拐点，则$f^{\prime \prime }(x_0)=0$。
定理：设$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内二阶可导，且$f^{\prime \prime }(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）：

• 若$f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$的两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$为曲线$f(x)$的拐点。
• 若$f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$的两侧同号，则点$(x_0,f(x_0))$不为曲线$f(x)$的拐点。

定理：设$f(x)$在点$x_0$处三阶可导，且$f^{\prime \prime }(x_0)=0$：

• 若$f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$，则点$(x_0,f(x_0))$为曲线$f(x)$的拐点。
• 若$f^{\prime \prime \prime }(x_0)=0$，则此方法不能判定点$(x_0,f(x_0))$是否为曲线$f(x)$的拐点。

曲线的渐近线

定义：若点M沿曲线$f(x)$无限远离原点时，它与某条定直线L之间的距离将趋近于零，则称直线L为曲线$f(x)$的一条渐近线，若直线L与x轴平行，则称L为曲线$y=f(x)$的水平渐近线；若直线L与x轴垂直，则称L为曲线$y=f(x)$的垂直渐近线；若直线L既不平行于x轴，也不垂直于x轴，则称L为$f(x)$的斜渐近线。

• 水平渐近线：若$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$或$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$或$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$，那么$y=A$是曲线$y=f(x)$的水平渐近线。
• 垂直渐近线：若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$或$\underset{x\to -x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$或$\underset{x\to +x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$，那么$x=x_0$是曲线$y=f(x)$的垂直渐近线。
• 斜渐近线：若$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a$且$\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-ax)=b(或x\to -\infty 或x\to +\infty )$，那么$y=ax+b$是曲线$y=f(x)$的斜渐近线。

曲线的弧微分和曲率

弧微分定义：设函数$f(x)$在$(a,b)$内有连续导数，则有弧微分$$ds=\sqrt{1+y^{{}^{\prime }2}}dx$$
曲率定义：设函数$f(x)$有二阶导数，则有曲率$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{{}^{\prime }2}{)}^{3/2}}$$称$p=\frac{1}{K}$为曲率半径。
曲率圆定义：若曲线$f(x)$在点$M(x,y)$处的曲率为$K(K\ne 0)$，在点M处曲线的法线上，在曲线凹的一侧取一点D，使$|DM|=\frac{1}{K}=p$，以D为圆心，以p为半径的圆称为曲线在点M处的曲率圆，圆心D为曲线在点M处的曲率中心。

连续、可导、可微之间的关系

• 连续不一定可导，可导一定连续；
• 连续不一定可微，可微一定连续；
• 可导一定可微，可微一定可导；