分治算法——经典案例分析

目录

案例一：二分搜索

案例二：数组元素计数

案例三：任务调度

课后习题

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分治算法（Divide and Conquer）是一种解决问题的算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个规模较小且相互独立的子问题，然后将这些子问题的解合并起来，从而得到原问题的解。

分治算法通常包括以下三个步骤：

1. 分解：将原问题分解为⼀组⼦问题，⼦问题与原问题类似，但是规模更小
2. 解决：递归求解⼦问题，如果⼦问题⾜够小，停⽌递归，直接求解
3. 合并：将⼦问题的解组合成原问题的解

分治算法的典型应用包括排序算法（如快速排序、归并排序）、搜索算法（如二分查找）、数学问题（如大整数乘法）等。

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案例一：二分搜索

输入：⼀个已排序数组 a[1...n]（元素各不相同），⼀个元素 x

输出：如果 x = a[j]，返回 j，否则返回 -1

分治测略：

• 分解：数组Left，中间元素 a[mid]，数组Right
• 解决：如果 a[mid]，返回 mid，否则递归求解数组Left或者数组Right
  • 如果数组为空，停⽌递归，直接求解（元素不存在）
• 合并：不需要额外⼯作

#include 
#include 
using namespace std;

//分治递归函数，复杂度为O(logn)
int binary_search(const vector& a, int x, int low, int high)
{
    if (low > high) return -1;
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == x) return mid;
    if (a[mid] > x)
        return binary_search(a, x, low, mid - 1);
    else
        return binary_search(a, x, mid + 1, high);
}

int main() {
    vector arr = {3, 8, 1, 6, 2, 5, 9, 4, 7};
    int x = 8;
    int j = binary_search(arr, x, 0, arr.size() - 1);
    cout << j << endl;  // 输出：1 即8所在的数组下标
    return 0;
}

 正确性分析：

命题: 如果x∈a[low ... high]，算法返回 j，其中 x=a[j], low j< high,否则返回-1

对数组 a 的长度 n = high - low +1 进行归纳：

• 基本情况: n = 0

        - low = high +1，此时算法返回-1，显然正确 (空数组不包舍x)

• 归纳假设: 假设对所有长度小于 k > 1 的a的子数组，命题正确
• 归纳步骤: 证明对长度为k的数组，命题正确

        - a[mid]=x: 算法返回mid，显然正确
        - a[mid]         - a[mid]>x: 因为a有序，所以x ∈ a[low..mid-1]，子问题能够正确求解，所以命题正确

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案例二：数组元素计数

输入:一个已排序数组a[1..n]，一个元素x

输出: 元素x的出现次数

方法一：直接使用二分搜索

• 通过二分搜索可以在O(log n)时间内找到元素 x 所在的块
• 然后向左 (右)扫描找到块的左 (右)边界
• 时间复杂度: O(logn +s)，其中s是块的长度
• 最坏情况是Θ(n),即一整个数组都是要找的元素x

int direct_count(const vector& a, int x, int j=-1)
{
    count = 0;
    j = binary_search(a,x,0,a.size())
    if (j) //若x存在，开始左右遍历
        i = j-1; k = j+1; count++;   
        while(a[i]==x && i>=0){    // <-左遍历
            count++;
            i--;
        }
        while(a[k]==x && k右遍历
            count++;
            k++;
        }
    return count;
}

方法二：改进二分搜索

• 分别找到块的左右边界
• 时间复杂度：O(2log n)

//二分找左边界
int first(const vector& a, int x, int left, int right)    
{
    int leftIndex = -1;    //左边界下标
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (a[mid] == x) {
            leftIndex = mid;
            right = mid - 1;  //右侧向左靠拢，不断逼近左边界
        } 
        else if (a[mid] > x) {right = mid - 1;} 
        else {left = mid + 1;}
    }
}

//二分找右边界
int last(const vector& a, int x, int left, int right)    
{
    int rightIndex = -1;    //右边界下标
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (a[mid] == x) {
            rightIndex = mid;
            left = mid + 1;    //左侧向右靠拢，不断逼近右边界
        } 
        else if (a[mid] > x) {right = mid - 1;} 
        else {left = mid + 1;}
    }
}

int count(const vector& a, int x)
{
    int i = first(a, x, 0, a.size() - 1);
    if (i == -1) return 0;
    int j = last(a, x, i, a.size() - 1);
    return j - i + 1;
}

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案例三：任务调度

给你k个任务和n台机器，其中机器i处理一个任务所需的时间为;

求处理所有任务所需的最短时间。

比如k=8，n=3，t[1..3] ={2,3,1}时，最短时间为9

这道题同样可以采用二分法进行递归求解。解题思路：

• 初始一个最小的时间上界T0，比如将所有任务交给完成速度最快的机器
• 给定时间T后，每个机器都可以计算出在T时间内的处理任务数量（向下取整）
• 计算n个机器的任务数量和，即是T时间内所能处理的最大任务量
• 不断二分更新T，直到k'

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int calculateTasks(vector& times, int T) {
    int tasks = 0;
    for(int time : times) {
        tasks += T / time;
    }
    return tasks;
}

int findShortestTime(vector& times, int machines, int totalTasks) {
    int left = 1;
    int right = *min_element(times.begin(), times.end()) * totalTasks;
    int shortestTime = right;

    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int completedTasks = calculateTasks(times, mid);

        if (completedTasks >= totalTasks) {
            shortestTime = mid;
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }

    return shortestTime;
}

int main() {
    vector times = {2, 3, 1};
    int machines = 3;
    int totalTasks = 8;

    int shortestTime = findShortestTime(times, machines, totalTasks);

    cout << "处理所有任务所需的最短时间为：" << shortestTime << endl;

    return 0;
}

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课后习题

 1.寻找中位数

输入: 数组a[1..n]
输出:a[1],..,a[n]的中位数

2. 逆序对

在一个数组A[1...n]中，逆序对 (inversion) 是一对索引(i,j)，满足iA[j]。一个包含n个元素的数组中的逆序对数量介于0(如果数组已排序)和2n(如果数组完全逆序)之间。设计一个高效的算法计算数组A[1...n]中逆序对的数量。

3.支配点

给定二维平面上两个不同的点p和q，如果p.x < q.x且p.y < q.y，称q支配p。给定一个点集P，设计一个高效的算法，计算每一个点p∈P支配的点的数量。给出算法的基本思路和伪代码描述，分析算法的时间复杂度。

习题答案：分治算法课后习题

习题答案：分治算法课后习题2