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用Doolittle分解法求解线性方程组解

第三章 线性方程组的解 概述 消元法 三角分解法 平方根法 向量与范数 方程组的性态与误差分析 迭代法 3.1 概述 大量实际计算问题＝>一组线性方程组＝>如何求解？ 1. 术语 非齐次线性方程组： 若记： 则： (1.1)式可表示为 Am×nx=b－－－线性方程组的矩阵表示 分类：据方程的个数与未知数的个数间关系，分为： mn，即方程的个数大于未知数的个数，称为超定方程组，或矛盾方程组。它没有一般意义下的解，但可以求其广义解。 m=n，一般意义下的方程组，本章主要讨论的重点 面临的问题： 方程组Ax=b有没有解？ 有多少解？ 如何求解？ 2. Crammer法则求解An×nx=b 方程组Ax=b有唯一解的充要条件是： |A|≠0 ?A可逆 ?A是非奇异矩阵 Ax=b在A可逆时，存在唯一解 结论：Crammer法则计算量非常大，需算n+1个n阶行列式。如：n＝100，1000次/秒的计算机要算10120年 3 线性方程组的数值解法： 直接法： 思想：经有限步运算?求得精确解 的方法：舍入误差，因此也是近似解 ?高斯消元法及其变形 特点：它可靠且效率高，但它只适用于中小型方程组。 迭代法： 思想：构造适当的初始近似解向量x，按一定的法则，使之逐步逼近精确解，得到一个满足精度要求的近似解。即是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。 主要方法：Jaccobi迭代法，Gauss-Sidel迭代法等 3.1.1 GAUSS 消元法 一. 几种可以直接求解的线性方程组 对角矩阵： ＝> n次除法 下三角矩阵： 即： l11x1=b1 l21x1+l22x2=b2 l31x1+l32x2+l33x3=b3 …… li1x1+li2x2+……＋liixi=bi …… ln1x1+ln2x2+……+lnnxn=bn 上三角矩阵： 即： u11x1+u12x2+………+u1nxn=b1 u22x2+………+u2nxn=b2 …… uiixi+ui,i+1xi+1+…+ui,nxn=bi un-1,n-1xn-1+un-1,nxn=bn-1 un,nxn=bn 二、同解变换 初等方阵： 注 对矩阵A实施初等行变换 ? 对A左乘初等方阵 初等方阵是可逆的，多个初等方阵的积仍然可逆 可逆阵A经有限次初等行变换?单位矩阵 2. 对方程组Ax=b作如下的变换，解不变: 交换两个方程的次序 一个方程的两边同时乘以一个非0数 一个方程的两边………………………，再将之加到另一个方程 将方程组Ax=b对应 的增广矩阵(A, b)，作如下变换，解不变 交换矩阵的两行 某行乘以一个非0数 某行乘以一个非0数，加到另一行 三、Gauss消元法 消元法基本思想：对Ax=b的增广矩阵(A|b)进行初等变换，变成可直接求解的三种形式之一，再求解 Gauss消元法：将A化为上三角阵 ? 回代求解 用高斯消去法解下列线性方程组 原方程组对应的增广矩阵为： 1. 消元步骤 方程组AX=b的矩阵表示为：A(1) x=b(1) 初始状态： 第一次消元：消去对角线下第1列元素(a11≠0) 方法： 消去对角线下第1列元素为0 ，即ri-r1×ai1/a11： (i=2, 3, … 第二次：若a22≠0，则消去对角线下第二列为0， 即：ri-r2×ai2/a22 (i=3, 4, …..) 经过k-1次消元后，增广矩阵变为： 第k次消元： 若akk ≠0，则消去对角线下第 k 列元素 即：ri-rk×aik/ akk ( i=k+1, k+2, ……) 2.经n次消元后得到同解方程组A(n)x=b(n) ，且A(n)为上三角矩阵，可逐步回代求解 3. 算法步骤 将方程组用增广矩阵(A|b)＝(aij)n×(n+1)表示，注意c语言中数组下标从0开始，故i=0,1,…,n-1，j=0,1,…,n 消元： 对k＝0，1，……，n-2(消去第k列对角线下的元素) 计算 l i,k= a i, k /a k,,k 第i行－第k行× l i, k (i=k+1, k+2, … n-1) 回代求解： xi=(ai,n-∑xjai,j )/ai, i . i=n-1,….,0, j=i+1,i+2,…..n-1 4.时间